Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Рис. 1.4
Из рисунка 1.4 видно, что
1 2 1 2
z z z z
+ ≤ +
(1.25)
(длина любой стороны треугольника не превосходит суммы длин двух других его сторон).
Методом математической индукции свойство (1.25) распространяется на любое конечное число слагаемых:
1 2
, ,...,
n
z z z
∀ ∈
C
справедливо неравенство
1 2 1 2
... ...
n n
z z z z z z
+ + + ≤ + + +
. (1.26)
Используя (1.25) и учитывая, что
2 2
z z
− =
, получаем
)
1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z z z z z
− = + − ≤ + − = +
, т.е.
1 2 1 2
z z z z
− ≤ +
. (1.27)
Далее, в силу (1.27)
)
1 1 2 2 1 2 2
z z z z z z z
= + − ≤ + +
, откуда получаем
1 2 1 2
z z z z
+ ≥ −
. (1.28)
В силу (1.28)
)
1 2 1 2 1 2 1 2
z z z z z z z z
− = + − ≥ − − = −
, т.е.
1 2 1 2
z z z z
− ≥ −
. (1.29)
В силу (1.12), (1.16)
( ) ( )
2 2
1 2 1 2 1 2
z z x x y y− = − + −
,
т.е. модуль разности чисел
1
z
и
2
z
равен расстоянию между точками
1
z
и
2
z
. Следовательно, если
0
, 0
z R
∈ >
C?
, то
)
{
}
0 0
:
R
S z z z z R
= ∈ − =C
− окружность с центром в точке
0
z
радиуса
R
;
)
{
}
0 0
:
R
O z z z z R
= ∈ − <
C
− открытый
круг с центром в точке
0
z
радиуса
R
(т.е. круг без окружности
)
0
R
S z
);
)
{
}
0 0
:
R
O z z z z R
= ∈ − ≤
C
− замкнутый круг с
центром в точке
0
z
радиуса
R
(т.е. круг вместе с окружностью
)
0
R
S z
);
{
}
)
0 0
: \
R
z z z R O z
∈ − ≥ =
C C
− внешность
открытого круга
)
0
R
O z
;
{
}
)
0 0
: \
R
z z z R O z
∈ − > =
C C
− внешность замкнутого круга
)
0
R
O z
.
Пусть
)
cos sin
z i
= ρ ϕ + ϕ
,
, 2
n n
∈ ≥
N
. Тогда, используя равенство (1.19) и метод математической индукции, получаем
следующую формулу, называемую формулой Муавра:
( ) ( )
cos sin cos sin
n
n n
z i n i n
= ρ ϕ + ϕ = ρ ϕ + ϕ
, (1.30)
т.е. при возведении комплексного числа в натуральную степень модуль возводится в эту степень, а аргумент умножается на
показатель степени:
n
n
z z
=
,
)
Arg arg 2 ,
n
z n z k k
= + π ∈
Z
.

Страницы