Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

tg
y
x
ϕ =
.
Учитывая, что
arctg
a
α =
::
=
( )
, tg
2 2
π π
α ∈ − ∧ α =
,
получаем
следующую
формулу
для
нахождения
ϕ
:
arctg ,
arctg ,
arctg ,
,
2
,
2
y
x
y
x
y
x
+ π
ϕ =
− π
π
π
−
если 0, -любое;
если 0, 0;
если 0, 0;
если 0, 0;
если 0, 0.
x y
x y
x y
x y
x y
>
< ≥
< <
= >
= <
Из
OAM
∆
имеем
cos
x
= ρ ϕ
,
sin
y
= ρ ϕ
. (1.17)
Тогда
комплексное
число
z x iy
= +
принимает
вид
(
)
cos sin
z i
= ρ ϕ + ϕ
. (1.18)
Выражение
(1.18)
называется
тригонометрической формой записи
(
представления
)
комплексного числа
z
.
Пример 1.2. Пусть
1
1
z i
= −
,
2
1
z i
= − +
,
3
1
z i
= − −
,
4
2
z i
=
,
5
2
z i
= −
,
6
2
z
=
,
7
2
z
= −
.
Тогда
тригонометрическая
форма
записи
этих
чисел
имеет
вид
:
1
2 cos sin
4 4
z i
π π
= − + −
,
2
3 3
2 cos sin
4 4
z i
π π
= +
,
3
3 3
2 cos sin
4 4
z i
π π
= − + −
,
4
2 cos sin
2 2
z i
π π
= +
,
5
2 cos sin
2 2
z i
π π
= − + −
,
(
)
6
2 cos0 sin 0
z i= +
,
(
)
7
2 cos sin
z i
= π + π
.
Условие
равенства
двух
комплексных
чисел
можно
записать
в
следующем
виде
:
1 2
z z
=
,
если
1 2
z z
=
и
1 2
arg arg
z z
=
.
Используя
равенство
(1.11)
и
формулы
тригонометрии
(
)
cos cos sin sin cos
α β − α β = α + β
,
(
)
sin cos cos sin sin
α β + α β = α + β
,
получаем
правило
умножения
комплексных
чисел
в
тригонометрической
форме
:
(
)
(
)
1 2 1 1 1 2 2 2
cos sin cos sinz z i i
= ρ ϕ + ϕ ⋅ ρ ϕ + ϕ =
(
)
(
)
1 2 1 2 1 2
cos sini= ρ ρ ϕ + ϕ + ϕ + ϕ
, (1.19)
т
.
е
.
при
умножении
комплексных
чисел
их
модули
перемножаются
,
а
аргументы
складываются
:
1 2 1 2
z z z z
= ⋅
, (1.20)
(
)
1 2 1 2
Arg arg arg 2 , z z z z k k
= + + π ∈
Z
. (1.21)
Используя
равенство
(1.15)
и
формулы
тригонометрии
(
)
cos cos sin sin cos
α β + α β = α −β
,
(
)
sin cos cos sin sin
α β − α β = α − β
,
2 2
sin cos 1
α + α =
,
получаем
правило
деления
комплексных
чисел
в
тригонометрической
форме
:
у – любое;

Страницы