Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пусть на плоскости задана декартова прямоугольная система координат
xOy
(рис. 1.2). Тогда каждое комплексное
число
( , )
z x y x iy
= = +
изображается на этой плоскости точкой М с абсциссой
x
и ординатой
y
или радиус-вектором
{
}
,
=
uuuur
точки М. Плоскость, точки которой отождествлены с комплексными числами, называется комплексной
плоскостью и обозначается тем же символом
C
, что и поле комплексных чисел; при этом ось
Ox
называется
действительной осью (на ней изображаются действительные числа), ось
Oy
называется мнимой осью (на ней изображаются
чисто мнимые числа). Тот факт, что данная плоскость рассматривается как плоскость комплексного переменного
z
,
отмечается значком в первой четверти.
Определение 1.6. Модулем комплексного числа
z x iy
= +
называется расстояние от точки
(
)
,
M x y
=
, изображающей
это число на комплексной плоскости, до начала координат
(
)
0,0
O =
(или, другими словами, длина вектора
OM
uuuur
)
(обозначение:
z
или
ρ
).
По определению,
0
z
≥
и
0 0
z z
= ⇔ =
.
Длина вектора
OM
uuuur
выражается формулой
2 2
OM x y
= +
uuuuur
, следовательно,
2 2
x y
ρ = +
. (1.16)
Рис. 1.2
В силу (1.16) формулу (1.14) можно записать в виде
2
z z z
⋅ =
.
Определение 1.7. Аргументом комплексного числа
z x iy
= +
,
0
z
≠
, называется величина угла наклона вектора
{
}
,
=
uuuur
, изображающего число
z
на комплексной плоскости, к положительному направлению действительной оси
(обозначение:
Arg
z
).
Величина
такого
угла
имеет
бесконечное
множество
значений
,
которое
можно
записать
в
виде
Arg arg 2 ,
z z k k
= + π ∈
Z
,
где
arg
z
–
значение
аргумента
числа
z
,
выбранное
из
полуинтервала
(
]
,
−π π
(
величина
arg
z
определяется
однозначно
и
называется
главным значением аргумента комплексного числа
z
;
в
целях
краткости
будем
также
arg
z
обозначать
через
ϕ
).
Заметим
,
что
комплексно
сопряжённые
числа
z x iy
= +
и
z x iy
= −
изображаются
на
комплексной
плоскости
точками
,
симметричными
относительно
действительной
оси
,
следовательно
,
z z
=
,
arg arg
z z
= −
для
| 0
z z
∀ ∈ ≠
C
,
z
−
∈
R
,
где
{
}
| 0
x x
−
= ∈ <
R R
(
рис
. 1.2).
Замечание 1.3. Для
комплексного
числа
0
z
=
понятие
аргумента
не
определено
.
Из
прямоугольного
OAM
∆
(
рис
. 1.2)
получаем

Страницы