ВУЗ:
Составители:
1
2 2 2 2
,
x y
z
x y x y
−
= −
+ +
. (1.4)
Выполнимость свойств 5° – 8° проверяется непосредственно.
В силу свойств 1° – 8° множество
2
R
, наделённое
операцией
сложения
(1.2)
и
операцией
умножения
(1.3),
является
полем
(
определение
поля
см
.
в
[2.11,
с
. 145]).
Обозначим
это
поле
символом
C
и
назовём
полем комплексных чисел
.
Рассмотрим
множество
комплексных
чисел
вида
{
}
( ,0) |H x x= ∈
R
.
Между
множеством
H
и
множеством
R
действительных
чисел
существует
взаимно
однозначное
соответствие
( ,0) , x x x
↔ ∀ ∈
R
. (1.5)
Заметим
,
что
в
силу
определений
1.3, 1.4
и
соответствия
(1.5)
для
любых
1
( ,0)
x
,
2
( ,0)
x H
∈
1 2 1 2 1 2
( ,0) ( ,0) ( ,0)
x x x x x x
+ = + ↔ +
,
1 2 1 2 1 2
( ,0)( ,0) ( ,0)
x x x x x x
= ↔
,
т
.
е
.
комплексные
числа
из
множества
H
складываются
и
перемножаются
друг
с
другом
так
же
,
как
соответствующие
им
действительные
числа
.
Следовательно
,
любое
комплексное
число
( ,0)
x H
∈
можно
отождествить
с
соответствующим
ему
действительным
числом
x
∈
R
:
( ,0) , x x x
= ∀ ∈
R
, (1.6)
в
частности
,
(0,0) 0, (1,0) 1
= =
.
В
силу
(1.6)
можно
считать
,
что
⊂
R C
,
т
.
е
.
поле
комплексных
чисел
является
расширением
поля
действительных
чисел
.
Любое
комплексное
число
( , )
z x y
=
можно
представить
в
виде
( , ) ( ,0) (0,1)( ,0)
z x y x y
= = +
. (1.7)
Из
(1.7)
видно
,
что
комплексное
число
(0,1)
имеет
особое
значение
в
поле
C
.
Это
число
принято
обозначать
символом
i
и
называть
мнимой единицей
.
Заметим
,
что
в
силу
(1.3), (1.6)
2
(0,1)(0,1) ( 1,0) 1
i i i
= ⋅ = = − = −
.
В
силу
соглашения
(1.6)
формула
(1.7)
принимает
вид
z x iy
= +
. (1.8)
Выражение
(1.8)
называется
алгебраической
формой
записи
(
представления
)
комплексного
числа
( , )
z x y
=
,
при
этом
число
x
называется
действительной
частью
комплексного
числа
z
и
обозначается
Re
z
(Re –
начальные
буквы
французского
слова
reele –
действительный
),
число
y
называется
мнимой
частью
комплексного
числа
z
и
обозначается
Im
z
(Im –
начальные
буквы
французского
слова
imagimaire –
мнимый
).
Например
,
для
комплексного
числа
2 3
z i
= −
имеем
Re 2
z
=
,
Im 3
z
= −
.
Если
Im 0
y z
= =
,
то
z x
=
является
действительным
числом
.
Если
Re 0
x z
= =
и
0
y
≠
,
то
z iy
=
(
числа
такого
вида
называются
чисто
мнимыми
числами
).
Условие
равенства
комплексных
чисел
,
записанных
в
алгебраической
форме
,
принимает
вид
1 1 2 2
x iy x iy
+ = +
,
если
1 2
x x
=
и
1 2
y y
=
, (1.9)
т
.
е
.
если
1 2
Re Re
z z
=
и
1 2
Im Im
z z
=
.
Замечание 1.2. Понятия
"
больше
"
и
"
меньше
"
для
комплексных
чисел
не
определены
(
эти
понятия
сохраняют
силу
лишь
для
комплексных
чисел
вида
z x
=
,
где
x
∈
R
).
Правило
(1.2)
сложения
комплексных
чисел
,
записанных
в
алгебраической
форме
,
принимает
вид
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z x iy x iy x x i y y
+ = + + + = + + +
, (1.10)
т
.
е
.
при
сложении
комплексных
чисел
складываются
отдельно
их
действительные
части
и
отдельно
их
мнимые
части
.
Правило
(1.3)
умножения
комплексных
чисел
,
записанных
в
алгебраической
форме
,
принимает
вид
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
z z x iy x iy x x y y i x y x y
= + + = − + −
. (1.11)
Заметим
,
что
правая
часть
формулы
(1.11)
получается
,
если
в
её
левой
части
применить
обычное
алгебраическое
правило
умножения
многочлена
на
многочлен
(
заменив
при
этом
2
i
на
–1).
Операция
вычитания
комплексных
чисел
вводится
как
операция
,
обратная
операции
сложения
:
по
определению
,
1 2 3 2 3 1
|
z z z z z z
− = + =
.
Следовательно
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
