Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
z z x iy x iy x x i y y
− = + − + = − + −
, (1.12)
т.е. при вычитании комплексных чисел вычитаются отдельно их действительные части и отдельно их мнимые части.
Операция деления комплексных чисел вводится как операция, обратная операции умножения: по определению, если
2
0
z
≠
, то
1
3 2 3 1
2
|
z
z z z z
z
. Следовательно, [2.12, с. 100],
1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
z x iy x x y y x y x y
i
z x iy
x y x y
+ + −
= = +
+
+ +
. (1.13)
Формула (1.13) громоздка, поэтому не обязательно её запоминать. Укажем простое правило, позволяющее находить
частное двух комплексных чисел.
Определение 1.5. Комплексное число
z x iy
= −
называется комплексно
сопряженным
числу
z x iy
= +
.
В силу (1.11)
2 2
z z x y
⋅ = +
, (1.14)
т.е. произведение комплексного числа
z
и комплексно сопряженного ему числа
z
равно сумме квадратов действительной и
мнимой частей числа
z
.
Используя формулу (1.14), деление комплексных чисел можно производить по следующему правилу: чтобы найти
частное двух комплексных чисел, достаточно числитель и знаменатель дроби умножить на число, комплексно сопряженное
знаменателю:
(
)
(
)
( )( )
1 1 2 2
1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2
x iy x iy
z x iy x x y y x y x y
i
z x iy x iy x iy
x y x y
+ −
+ + −
= = = +
+ + −
+ +
, (1.15)
т.е.
1 1 2
2
2
2
z z z
z
z
= .
Пример 1.1. Пусть
1
3 2
z i
= − +
,
2
4
z i
= −
. Тогда
(
)
(
)
1 2
3 4 2 ( 1) 1
z z i i
+ = − + + + − = +
;
(
)
(
)
1 2
3 4 2 ( 1) 7 3
z z i i
− = − − + − − = − +
;
(
)
(
)
2
1 2
3 2 4 12 3 8 2 10 11
z z i i i i i i
= − + − = − + + − = − + ;
(
)
(
)
( )( )
2
1
2 2
2
3 2 4
3 2 12 3 8 2 14 5
4 4 4 17 17
4 ( 1)
i i
z
i i i i
i
z i i i
− + +
− + − − + +
= = = = − + ⋅
− − +
+ −
.
Непосредственной проверкой устанавливаются следующие соотношения:
z z
=
,
z
∀ ∈
C
;
z z z
= ⇔ ∈
R
;
для
1 2
,
z z
∀ ∈
C
(в случае частного
2
0
z
≠
)
1 2 1 2
z z z z
+ = +
;
1 2 1 2
z z z z
− = −
;
1 2 1 2
z z z z
=
;
1 1
2 2
z z
z z
=
.

Страницы