Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

1. КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
Понятие комплексного числа; операции сложения и умножения комплексных чисел, их свойства; алгебраическая форма
записи комплексного числа; операции вычитания и деления комплексных чисел; модуль и аргумент комплексного числа;
тригонометрическая форма записи комплексного числа; геометрическая интерпретация арифметических действий над
комплексными числами; формула Муавра; извлечение корня натуральной степени из комплексного числа.
При исследовании различных физических процессов, например, при решении задач гидродинамики и газовой динамики
[1.1, с. 309], приходится рассматривать преобразования плоских областей, т.е. изучать отображения вида
2 2
: f D G⊆ → ⊆
R R
, (1.1)
где
{
}
2
( , ) | ,x y x y= ∈
R R
− множество всевозможных упорядоченных пар действительных чисел (рис. 1.1).
Рис. 1.1
Для того чтобы при построении теории функций, имеющих вид (1.1), прослеживалась аналогия с теорией
вещественнозначных функций вещественной переменной, необходимо, во-первых, ввести во множестве
2
R
операции
сложения
и
умножения
элементов
таким
образом
,
чтобы
это
множество
стало
полем
(
известно
[2.11,
с
. 146],
что
множество
R
вещественных
чисел
является
полем
),
и
,
во
-
вторых
,
элементы
x y
поля
2
R
(
значения
аргумента
функции
f
)
рассматривать
как
новые
числа
.
Определение 1.1. Комплексным числом
называется
упорядоченная
пара
действительных
чисел
(
обозначение
:
( , )
z x y
=
).
В
силу
определения
1.1
2
R
представляет
собой
множество
всех
комплексных
чисел
.
Определение 1.2. Два
комплексных числа
1 1 1
( , )
z x y
=
,
2 2 2
( , )
z x y
=
называются
равными
,
если
1 2
x x
=
и
1 2
y y
=
.
Определение 1.3. Суммой комплексных чисел
1 1 1
( , )
z x y
=
и
2 2 2
( , )
z x y
=
называется
комплексное
число
вида
1 2 1 2 1 2
( , )
z z x x y y
+ = + +
. (1.2)
Операция
сложения
комплексных
чисел
обладает
следующими
свойствами
[2.12,
с
. 99]:
1°.
1 2 2 1
z z z z
+ = +
,
2
1 2
,z z∀ ∈
R
(
свойство коммутативности
или
переместительности операции сложения
);
2°.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
+ + = + +
,
2
1 2 3
, ,z z z∀ ∈
R
(
свойство ассоциативности
или
сочетательности операции
сложения
;
в
силу
этого
свойства
допустима
запись
1 2 3
z z z
+ +
);
3°.
0
z z
+ =
,
2
z
∀ ∈
R
,
где
0 (0,0)
=
(
существование
нулевого
элемента
);
4°.
( ) 0
z z
+ − =
,
2
z
∀ ∈
R
,
где
( , ), ( , )
z x y z x y
= − = − −
,
0 (0,0)
=
(
существование
противоположного
элемента
).
Свойства
1° – 4°
устанавливаются
непосредственно
,
при
этом
используются
соответствующие
свойства
операции
сложения
действительных
чисел
[2.13,
с
. 29].
Определение 1.4. Произведением
комплексных
чисел
1 1 1
( , )
z x y
=
и
2 2 2
( , )
z x y
=
называется
комплексное
число
вида
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( , )
z z x x y y x y x y
= − +
. (1.3)
Операция
умножения
комплексных
чисел
обладает
следующими
свойствами
[2.12,
с
. 99]:
5°.
1 2 2 1
z z z z
=
,
2
1 2
,z z∀ ∈
R
(
свойство
коммутативности
или
переместительности
операции
умножения
);
6°.
(
)
(
)
1 2 3 1 2 3
z z z z z z
=
,
2
1 2 3
, ,z z z∀ ∈
R
(
свойство
ассоциативности
или
сочетательности
операции
умножения
;
в
силу
этого
свойства
допустима
запись
1 2 3
z z z
);
7°.
1
z z
⋅ =
,
2
z
∀ ∈
R
,
где
1 (1,0)
=
(
существование
единичного
элемента
);
8°.
(
)
2 1 2 1
, 0,0 | 1
z z z z z
− −
∀ ∈ ≠ ∃ ∈ ⋅ =
R R
,
где
1 (1,0)
=
(
существование
обратного
элемента
).
Замечание 1.1. Непосредственно
проверяется
,
что
для
комплексного
числа
( , )
z x y
=
,
(
)
0,0
z ≠
,
обратным
ему
числом
является
комплексное
число
вида

Страницы