Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

(
)
( )
( ) ( )
1 1 1
1 1
1 2 1 2
2 2 2 2 2
cos sin
cos sin
cos sin
i
z
i
z i
ρ ϕ + ϕ
ρ
= = ϕ − ϕ + ϕ −ϕ
ρ ϕ + ϕ ρ
, (1.22)
т.е. при делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются при условии, что
2
0
z
≠
:
1
1
2 2
z
z
=
, (1.23)
1
1 2
2
Arg arg arg 2 ,
z
z z k k
z
= − + π ∈
Z
. (1.24)
Пример 1.3. Пусть
1
1 3
z i
= +
,
2
1
z i
= +
. Запишем
1
z
и
2
z
в тригонометрической форме:
1
2 cos sin
3 3
z i
π π
= +
,
2
2 cos sin
4 4
z i
π π
= +
. Тогда по формулам (1.19), (1.22) получаем
1 2
7 7
2 2 cos sin
12 12
z z i
π π
= +
,
1
2
2 cos sin
12 12
z
i
z
π π
= +
.
На геометрическом языке правила (1.19), (1.22) выражаются так: чтобы найти произведение комплексных чисел
1
z
и
2
z
, нужно радиус-вектор
1
OM
uuuur
(изображающий число
1
z
) повернуть на угол
2
ϕ
(против часовой стрелки при
2
0
ϕ >
и по
часовой стрелке при
2
0
ϕ <
) и затем "растянуть" его в
2
ρ
раз (при
2
1
ρ >
это действительно будет растяжение, при
2
1
ρ <
–
сжатие); чтобы найти частное комплексных чисел
1
z
и
2
z
, нужно радиус-вектор
1
OM
uuuur
повернуть на угол
2
ϕ
(по часовой
стрелке при
2
0
ϕ >
и против часовой стрелки при
2
0
ϕ <
), а затем "сжать" его в
2
ρ
раз (при
2
1
ρ >
это действительно будет
сжатием, при
2
1
ρ <
– растяжение) (рис. 1.3).
Рис. 1.3
В силу (1.10), (1.12) сумма и разность комплексных чисел
1 1 1
z x iy
= +
,
2 2 2
z x iy
= +
представляют собой на
геометрическом языке соответственно сумму и разность векторов
{
}
1 1 1
,
OM x y
=
uuuuur
и
{
}
2 2 2
,
OM x y
=
uuuuur
, изображающих эти
числа на комплексной плоскости (рис. 1.4).

Страницы