Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Пример 1.4. Пусть
1 3
z i
= − +
. Запишем
z
в тригонометрической форме:
2 2
2 cos sin
3 3
z i
π π
= +
. Тогда по формуле
Муавра
(
12 12 12
2 cos8 sin8 2
z i= π + π =
.
Операция извлечения корня натуральной степени из комплексного числа вводится как операция, обратная операции
возведения в степень: по определению,
|
n
n
z w w z
= =
. Пусть
(
cos sinw r i
= Θ + Θ
. Тогда в силу формулы (1.30) равенство
n
w z
=
принимает вид
(
(
cos sin cos sin
n
r n i n i
Θ + Θ = ρ ϕ + ϕ
,
откуда
n
r
= ρ
, где
n
ρ
− арифметическое (т.е. неотрицательное) значение корня n-й степени из
ρ
;
2
n k
Θ = ϕ + π
,
k
∈
Z
, т.е.
2
k
k
n
ϕ + π
Θ = Θ =
,
k
∈
Z
. Получили формулу
(
cos sin
n
n
k k k
w z i
= = ρ Θ + Θ
,
k
∈
Z
. (1.31)
Покажем, что формула (1.31) даёт ровно n различных значений, которые можно получить при k = 0, 1, …, n – 1.
Возьмём произвольные целые
21
, kk
, удовлетворяющие условиям
1 2 1 2
0 , 1,
k k n k k
≤ ≤ − ≠
. Пусть для определённости,
1 2
k k
<
. Тогда
(
2 1
2 1
2 1
2
2 2
2
k k
k k
k k
n n n
π −
ϕ + π ϕ + π
Θ − Θ = − = < π
, (1.32)
так как
2 1
k k n
− <
. Из (1.31), (1.32) следует, что
2 1
k k
w w
≠
. Возьмём произвольное целое
k n
≥
, т.е.
k ln s
= +
, где
, , 0 1
l s s n
∈ ≤ ≤ −
N .
Тогда
2 ( ) 2
2 = +2
k s k s
ln s s
l l
n n
ϕ + π + ϕ+ π
Θ −Θ = − = π ⇒ Θ Θ π ⇒
sin sin ,cos cos
k s k s k s
w w
⇒ Θ = Θ Θ = Θ ⇒ =
.
Итак
,
корень
n-
й
степени
из
комплексного
числа
(
cos sin
z i
= ρ ϕ + ϕ
,
0
z
≠
,
имеет
n
различных
значений
,
которые
можно
найти
по
формуле
2 2
cos sin ; 0,1,..., 1
n
n
k
k k
w z i k n
n n
ϕ + π ϕ + π
= = ρ + = −
. k = 0, 1, …, n – 1. (1.33)
Из
формулы
(1.33)
видно
,
что
все
значения
k
w
(
0 1
k n
≤ ≤ −
)
имеют
один
и
тот
же
модуль
,
равный
n
ρ
;
а
аргументы
любых
двух
соседних
значений
1
k
w
+
и
k
w
отличаются
на
величину
2
n
π
.
Следовательно
,
на
комплексной
плоскости
значения
n
z
являются
вершинами
правильного
n-
угольника
,
вписанного
в
окружность
радиуса
n
ρ
с
центром
в
точке
0
0
z
=
,
при
этом
одной
из
вершин
этого
многоугольника
является
точка
0
cos sin
n
w i
n n
ϕ ϕ
= ρ +
.
Пример 1.5. Пусть
3
z i
= +
.
Запишем
число
z
в
тригонометрической
форме
:
2 cos sin
6 6
z i
π π
= +
.
Тогда
,
согласно
(1.33)
все
значения
кубического
корня
из
z
получаются
по
формуле
3 3
2 2
6 6
2 cos sin , 0,1,2
3 3
k
k k
w z i k
π π
+ π + π
= = + =
k = 0, 1, 2.
Имеем
3
0
2 cos sin
18 18
w i
π π
= +
,
3
1
13 13
2 cos sin
18 18
w i
π π
= +
,
3
2
25 25
2 cos sin
18 18
w i
π π
= +
.

Страницы