Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Обозначение:
∞=
∞→
n
n
zlim
, (3.1)
или
n
n
z
→∞
→ ∞
, или
n
z
→ ∞
при
n
→ ∞
.
Итак, запись (3.1) означает, по определению, следующее:
0 ( ) |
n
E N N E n N z E
∀ > ∃ = ∀ > ⇒ >
. (3.2)
О последовательности
{
}
n
z
, для которой выполняется (3.2), говорят, что её предел равен бесконечности или что она
стремится к бесконечности. Такую последовательность называют бесконечно большой.
Условие (3.2) означает, что
+∞=
∞→
n
n
zlim
, т.е.
+∞=⇔∞=
∞→∞→
n
n
n
n
zz lim lim
. (3.3)
Пример 3.1. Последовательность
(
)
n
n
iz −= 1
,
∈
n
, является бесконечно большой.
Действительно,
( )
(
)
1 1 2
n
nn
n
z i i= − = − =
,
( )
lim lim 2
n
n
n n
z
→∞ →∞
= = +∞
,
следовательно, в силу (3.3)
∞=
∞→
n
n
zlim
.
Дадим геометрическую трактовку соотношения (3.1). Пусть
Ρ
E
,
0
>
E
. Положим
Ei
E
−+∞=
(от англ. слова infinity
– бесконечность).
Определение 3.3
E
i
-окрестностью несобственного комплексного числа
∞
называется множество всех точек
комплексной плоскости, "расстояние" от которых до бесконечно удалённой окружности "меньше"
E
i
(обозначение:
)(∞
E
i
O
).
Итак, по определению,
{
}
( ) :
E
i
O z z E
∞ = ∈ >C
− внешность замкнутого круга
)0(
E
O
, т.е.
)0(\)(
Ei
OO
E
Χ=∞
.
Запись (3.1) означает на геометрическом языке следующее:
( ) ( ) | ( )
E E
i n i
O N N E n N z O
∀ ∞ ∃ = ∀ > ⇒ ∈ ∞
. (3.4)
Для различения окрестностей несобственного комплексного числа
∞
удобно ввести во множестве
{
}
| , 0
E
i E E
∈ >
R
отношение порядка: условимся считать, что
21
EE
ii <
, если
21
EE >
(рис. 3.2).
Рис. 3.2
Следовательно,
21
EE
ii
OO ⊂
, если
21
EE >
.
Укажем геометрическую интерпретацию расширенной комплексной плоскости
. Рассмотрим в пространстве
декартову прямоугольную систему координат
Oxyh
, где
Ox
,
Oy
− соответственно действительная и мнимая оси
комплексной плоскости
Χ
. Пусть
S
− сфера с центром в точке
2
1
;0;0
0
M
радиуса
2
1
=R
(рис 3.3).

Страницы