Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

nn
zzzS +++= ...
21
или
∑
=
=
n
k
kn
zS
1
.
Рассмотрим частичные суммы ряда (4.1):
11
zS =
,
212
zzS +=
,
3213
zzzS ++=
,
........
..........
..........
nn
zzzzS ++++= ...
321
,
.........
..........
..........
.
Они образуют числовую последовательность
{
}
∞
=1n
n
S
с комплексными членами.
Определение 4.3. Ряд называется сходящимся, если существует конечный предел
S
последовательности его
частичных сумм
{
}
∞
=1n
n
S
:
n
n
SS
∞→
= lim
, (4.3)
при этом, предел
S
называется суммой ряда.
Обозначение:
......
21
++++=
n
zzzS
или
∑
∞
=
=
1
n
n
zS
.
Определение 4.4. Ряд называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм
{
}
∞
=
1
n
n
S
не имеет
конечного предела.
Иными словами, ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм является сходящейся; ряд
называется расходящимся, если последовательность его частичных сумм является расходящейся.
Установим признак сходимости числового ряда с комплексными членами. Запишем члены ряда (4.2) в алгебраической
форме:
nnn
iyxz +=
,
Ν
∈
n
.
Теорема 4.1. Сходимость ряда
( )
∑∑
∞
=
∞
=
+=
11
n
nn
n
n
iyxz
(4.4)
к сумме
)2()1(
iSSS +=
равносильна сходимости рядов
∑
∞
=
1
n
n
x
, (4.5)
∑
∞
=
1
n
n
y
, (4.6)
составленных из действительных и мнимых частей членов ряда (4.4), соответственно к числам
)1(
S
и
)2(
S
.
Имеем
( )
)2()1(
1111
nn
n
k
k
n
k
k
n
k
kk
n
k
kn
iSSyixiyxzS +=+=+==
∑∑∑∑
====
,
где
)1(
n
S
и
)2(
n
S
− n-е частичные суммы соответственно рядов (4.5) и (4.6). Тогда формулировка теоремы 4.1 равносильна
следующему утверждению:

Страницы