Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
sin
1
2
cos
1
2
sin
2
cos
1 π
+
π
=
π
+
π
==+=
n
n
i
n
n
i
nn
i
iyxz
n
n
nnn
,
т.е.
2
cos
1 π
=
n
n
x
n
,
2
sin
1 π
=
n
n
y
n
.
Учитывая соотношения
∈=−
∈+=
=
π
, ,2 если,)1(
, ,12 если ,0
2
cos
Ζ
Ζ
kkn
kkn
n
k
∈−=−
∈=
=
π
−
, ,12 если,)1(
, ,2 если ,0
2
sin
1
Ζ
Ζ
kkn
kkn
n
k
получаем
∑∑∑
∞
=
∞
=
∞
=
−
=
π
=
111
2
)1(
2
cos
1
k
k
nn
n
k
n
n
x
, (4.20)
∑∑∑
∞
=
−
∞
=
∞
=
−
−
=
π
=
1
1
11
12
)1(
2
sin
1
k
k
nn
n
k
n
n
y
. (4.21)
Ряды (4.20), (4.21) − это знакочередующиеся ряды с вещественными членами. По признаку Лейбница [2.8, с. 455] они
сходятся. Следовательно, по теореме 4.1 ряд (4.19) сходится. Далее,
1 1
n
n n
n
i
i
z
n n n
n
= = = =
,
∑∑
∞
=
∞
=
=
11
1
nn
n
n
z
. (4.22)
Ряд (4.22) − это ряд Дирихле (или обобщённый гармонический ряд)
∑
∞
=
α
1
1
n
n
(4.23)
при
2
1
=α
. Известно [2.8, с. 435, с. 441], что ряд (4.23) при
1
>
α
сходится, при
1
≤
α
расходится. Следовательно, ряд (4.22)
расходится. Итак, ряд (4.19) сходится, а ряд, составленный из модулей членов ряда (4.19) расходится.
Чтобы различать ряды, для которых соответствующие ряды из модулей сходятся, и ряды, для которых
соответствующие ряды из модулей расходятся, введём следующие определения.
Определение 4.9. Ряд с комплексными членами называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный
из модулей членов исходного ряда.
В силу теоремы 4.5 абсолютно сходящийся ряд сходится.
Определение 4.10. Ряд с комплексными членами называется условно сходящимся (или неабсолютно сходящимся), если
он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.
Итак, для произвольного числового ряда с комплексными членами существуют всего три взаимоисключающие друг
друга возможности: ряд либо сходится абсолютно, либо сходится условно, либо расходится (рис. 4.1).
Рис. 4.1
Укажем критерий абсолютной сходимости ряда с комплексными членами.
Теорема 4.6. Абсолютная сходимость ряда с комплексными членами равносильна абсолютной сходимости ряда,
составленного из действительных частей, и ряда, составленного из мнимых частей членов исходного ряда.
Необходимость. Пусть ряд (4.4) сходится абсолютно, т.е. сходится ряд (4.16). Тогда (см. доказательство теоремы
4.5) ряды (4.17) и (4.18) сходятся, а это означает, по определению, что ряды (4.5) и (4.6) сходятся абсолютно.
Достаточность. Пусть ряды (4.5) и (4.6) сходятся абсолютно, т.е. сходятся ряды (4.17) и (4.18). Тогда ряд
Числовые ряды с комплексными
членами
Абсолютно
сходящиеся ряды
Условно
сходящиеся ряды
Расходящиеся
ряды

Страницы