Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

),(),( yxivyxuw +=
.
Вещественные функции
),( yxu
,
),( yxv
двух
вещественных
переменных
x
,
y
называются
соответственно
действительной частью
и
мнимой частью функции
)(zfw =
.
Например
,
функцию
2
zw =
можно
записать
в
виде
(
)
xyiyxiyxw 2)(
222
+−=+=
,
т
.
е
.
22
),( yxyxu −=
,
xyyxv 2),( =
.
Введём
понятие
сложной
функции
комплексного
переменного
.
Пусть
задана
функция
)(
zh
ϕ
=
,
Χ
⊆
∈
Dz
,
а
на
множестве
{
}
DzzhhG ∈ϕ=∈=
ϕ
),(|Χ
задана
функция
)(
hfw
=
.
Тогда
можно
рассмотреть
функцию
GDF
:
,
где
{
}
| ( ),
G w w f h h G
ϕ
= ∈ = ∈C
,
которая
каждому
D
z
∈
ставит
в
соответствие
(
)
)(
zfw ϕ=
(
рис
. 5.2).
Рис. 5.2
Полученная
функция
(
)
)()(
zfzF ϕ=
представляет
собой
функцию
от
функции
и
называется
сложной функцией
(
суперпозицией
или
композицией функций
f
и
ϕ
;
обозначение
:
ϕof
;
по
определению
,
(
)
(
)
( ) ( )
f z f z
ϕ = ϕo
) ,
при
этом
функция
)(
zh ϕ=
называется
проме-жуточным переменным
(
или
промежуточным аргументом
);
z
−
независимым
переменным
(
или
внутренним аргументом
).
Другое
обозначение
сложной
функции
:
(
)
)(
zhww =
.
Сложную
функцию
(
)
)(
zfw ϕ=
можно
записать
в
виде
отдельных
звеньев
(
в
виде
цепочки
равенств
):
)(
hfw =
,
)(
zh ϕ=
.
Сложная
функция
может
состоять
более
чем
из
двух
звеньев
,
в
частности
,
может
иметь
вид
:
(
)
(
)
)(
zhqww =
.
Пусть
Χ
⊂
D
.
Введём
понятие
предельной
точки
множества
D
.
Определение 5.5.
Точка
Χ∈
0
z
называется
предельной точкой множества
D
,
если
в
любой
её
сколь
угодно
малой
δ
-
окрестности
найдётся
точка
D
z
∈
,
отличная
от
точки
0
z
.
Замечание 5.2.
Множество
может
иметь
предельные
точки
,
принадлежащие
этому
множеству
,
и
предельные
точки
,
не
принадлежащие
ему
.
Например
,
пусть
{
}
1
(0) : 1
D O z z
= = ∈ <
C
−
открытый
круг
с
центром
в
точке
0
*
=z
радиуса
1
=
R
.
Тогда
iz
2
1
2
1
1
+=
,
iz =
2
−
предельные
точки
множества
D
,
при
этом
Dz ∈
1
,
Dz ∈
2
(
рис
. 5.3).
Рис. 5.3
у
х

Страницы