Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

)(lim
)(lim
)(
)(
lim
2
1
2
1
0
0
0
zf
zf
zf
zf
zz
zz
zz
→
→
→
=
, (5.32)
при этом в случае частного предполагается, что
0)(lim
2
0
≠
→
zf
zz
.
Из (5.27), (5.28) следует в силу теоремы 5.5 (необходимость), что существуют
11
),(),(
),(lim
00
µ=
→
yxu
yxyx
,
11
),(),(
),(lim
00
ν=
→
yxv
yxyx
,
22
),(),(
),(lim
00
µ=
→
yxu
yxyx
,
22
),(),(
),(lim
00
ν=
→
yxv
yxyx
.
Следовательно, в силу основной теоремы о пределах вещественных функций двух вещественных переменных [2.8, с. 487]
существуют
[
]
2121
),(),(
),(),(lim
00
µ+µ=+
→
yxuyxu
yxyx
,
[
]
2121
),(),(
),(),(lim
00
ν+ν=+
→
yxvyxv
yxyx
.
Тогда в силу теоремы 5.5 (достаточность) функция
[
]
[
]
),(),(),(),()()(
212121
yxvyxviyxuyxuzfzf +++=+
имеет конечный предел в точке
0
z
и
[
]
(
)
(
)
(
)
(
)
=ν+µ+ν+µ=ν+ν+µ+µ=+
→
2211212121
)()(lim
0
iiizfzf
zz
)(lim)(lim
2121
00
zfzfAA
zzzz →→
+=+=
,
т.е. справедлива формула (5.29). Аналогично доказываются оставшиеся части утверждения теоремы.
Если
czf =)(
,
D
z
∈
∀
и
0
z
− предельная точка множества
D
, то
czf
zz
=
→
)(lim
0
, т.е.
cc
zz
=
→
0
lim
. (5.33)
Если
)(lim
0
zf
zz→
∃
, то для
Χ
∈
∀
c
,
[
]
0
lim ( )
z z
→
∃
и
[
]
0 0
lim ( ) lim ( )
z z z z
c f z c f z
→ →
=
. (5.34)
Следствие 5.1. Сумма любого конечного числа функций
1 2
( ), ( ), ... , ( )
s
f z f z f z
, имеющих конечный предел в точке
0
z
,
есть функция, имеющая конечный предел в этой точке и
∑∑
=
→
=
→
=
s
i
i
zz
s
i
i
zz
zfzf
11
)(lim)(lim
00
.
Утверждение следствия 5.1 получается из теоремы 5.6 методом математической индукции.
Следствие 5.2. Если функции
1 2
( ), ( ), ... , ( )
s
f z f z f z
имеют конечный предел в точке
0
z
, то их линейная комбинация
)(...)()(
2211
zfzfzf
ss
λ++λ+λ
с любыми коэффициентами
1 2
, , ... ,
s
λ λ λ ∈
C
имеет конечный предел в точке
0
z
и
∑∑
=
→
=
→
λ=
λ
s
i
i
zz
i
s
i
ii
zz
zfzf
11
)(lim)(lim
00
.
Справедливо следующее утверждение, называемое теоремой о пределе сложной функции.
Теорема 5.7. Пусть для сложной функции
(
)
)(zfw ϕ=
выполняются следующие условия:
*
)(lim
0
hz
zz
=ϕ∃
→
;
)(,)(|)(
0*0
zOzhzzO
δδ
∈∀≠ϕ∃
&
;

Страницы