Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
!
n
n
z
n
∞
=
∑
,
2 1
0
( 1)
(2 1)!
n
n
n
z
n
∞ +
=
−
+
∑
,
2
0
( 1)
n
n
n
z
n
∞
=
−
∑
(6.4)
при каждом
Χ
∈
z
сходились абсолютно.
Замечание 6.1. Для
Χ
∈
∀
z
каждый из рядов (6.4) сходится абсолютно.
Покажем, например, абсолютную сходимость первого их этих рядов (для оставшихся двух рядов это делается
аналогично). При
0
=
z
ряд имеет вид
...001
+
+
+
и сходится к 1. Пусть
0
≠
z
. Тогда
!
n
n
z
n
ζ =
,
!
n
n
z
n
ζ =
,
0 0
!
n
n
n n
z
n
∞ ∞
= =
ζ =
∑ ∑
.
Применим признак Даламбера:
1
1
lim lim : lim 0
( 1)! ! 1
n n
n
n n n
n
z z z
D
n n n
+
+
→∞ →∞ →∞
ζ
= = = =
ζ + +
.
Получили
⇒
<
=
10D
ряд с
n
ζ
сходится
⇒
ряд с
n
ζ
сходится абсолютно.
Положим, по определению, для
Χ
∈
∀
z
2
0
1 ... ...
! 2! !
n n
z
n
z z z
e z
n n
∞
=
= = + + + + +
∑
; (6.5)
2 1 3 5 2 1
0
sin ( 1) ... ( 1) ...
(2 1)! 3! 5! (2 1)!
n n
n n
n
z z z z
z z
n n
∞ + +
=
= − = − + − + − +
+ +
∑
; (6.6)
2 2 4 2
0
cos ( 1) 1 ... ( 1) ...
(2 )! 2! 4! (2 )!
n n
n n
n
z z z z
z
n n
∞
=
= − = − + − + − +
∑
.
(6.7)
В силу замечания 6.1 такое определение функций
z
e
,
zsin
,
z
cos
корректно.
Из (6.6), (6.7) следует, что
zz sin)sin(
−=−
,
zz cos)cos(
=−
,
Χ
∈
∀
z
(6.8)
(аналог свойств
xx sin)sin(
−=−
,
xx cos)cos(
=−
,
Ρ
∈
∀
x
).
Укажем формулы, связывающие показательную функцию
z
e
и тригонометрические функции
zsin
,
z
cos
.
В силу (6.6) и теоремы 4.3
∑
∞
=
+
+
−=
0
12
)!12(
)1(sin
n
n
n
n
iz
zi
. (6.9)
В силу (6.7), (6.9) и теоремы 4.2
∑
∞
=
+
+
+−=+
0
122
)!12()!2(
)1(sincos
n
nn
n
n
iz
n
z
ziz
или с учётом того, что
nn
i
2
)1( =−
(
)
(
)
iz
n
nn
e
n
iz
n
iz
ziz =
+
+=+
∑
∞
=
+
0
122
)!12()!2(
sincos
.
Получили равенство
zize
iz
sincos +=
,
Χ
∈
∀
z
, (6.10)
которое называется формулой Эйлера. В силу (6.8), (6.10)
zize
iz
sincos −=
−
. (6.11)
Из (6.10), (6.11) следуют соотношения
i
ee
z
iziz
2
sin
−
−
=
, (6.12)

Страницы