Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
1 2 1 2
1 2
1 2
0 0 0
( ) , ( ) , ( )
! ! !
n
n n
z z z z
n n n
z z
z z
s e s e s e
n n n
∞ ∞ ∞
+
= = =
+
= = =
∑ ∑ ∑
. (6.22)
Из (6.21), (6.22) следует, в силу произвольности выбора
21
, zz
формула (6.15).
В силу (6.10), (6.15) для
Χ
∈
+
=
∀
iyxz
(
)
yiyeeeee
xiyxiyxz
sincos +===
+
, (6.23)
откуда видно, что действительная и мнимая части функции
z
e
имеют вид
yeyxu
x
cos),( =
,
yeyxv
x
sin),( =
, (6.24)
кроме того,
z x
=
,
kye
z
π+= 2 Arg
,
Ζ∈k
.
В силу (6.23)
0
≠
z
e
,
Χ
∈
∀
z
, (6.25)
ибо
0≠
x
e
,
Ρ
∈
∀
x
;
1cossin
22
=+ yy
,
Ρ
∈
∀
y
.
С помощью формулы (6.23) можно вычислять значения показательной функции
z
e
для конкретных значений аргумента
z
(задача вычисления значения функции
)(zf
при заданном значении аргумента
0
z
предполагает, что
)(
0
zf
нужно
представить в алгебраической или тригонометрической форме).
Пример 6.1. Вычислим значения функции
z
e
при
iz 25
+
=
,
iz 3
=
,
6
i
z
π
=
:
(
)
2sin2cos
52525
ieeee
ii
+==
+
,
3sin3cos
3
ie
i
+=
,
22
3
6
sin
6
cos
6
i
ie
i
+=
π
+
π
=
π
.
Зная способ вычисления значений показательной функции
z
e , значения тригонометрических функций z
sin
и
z
cos
можно находить соответственно по формулам (6.12) и (6.13).
Пример 6.2. Вычислим значения функций z
sin
и
z
cos
при iz
32
−
=
:
(2 3 ) (2 3 ) 3 2 3 2
1
sin(2 3 )
2 2
i i i i i i
i
i e e e e
i
− − − + − −
− = − = − − =
( ) ( )
3 2 3 2 3 3
cos 2 sin 2 cos( 2) sin( 2)
2 2
i i
i i
e e e e e i e i
− − −
= − − = − + − − + − =
3sh 2cosch3 2sin2cos
2
2sin
2
3333
i
ee
i
ee
−=
−
−
+
=
−−
,
(2 3 ) (2 3 )
1
cos(2 3 )
2
i i i i
i e e
− − −
− = + =
( ) ( )
3 3
1
cos2 sin 2 cos2 sin 2
2
e i e i
−
= + + − =
3sh 2sinch3 2cos2sin
2
2cos
2
3333
i
ee
i
ee
+=
−
+
+
=
−−
.
Получили
3sh 2cosch3 2sin)32sin( ii −=−
,
3sh 2sinch3 2cos)32cos( ii +=−
.
Значения функций
zsin
и
z
cos
можно находить более простым способом.
Действительно, для
Χ∈∀
21
, zz
справедливы формулы
(
)
212121
sincoscossinsin zzzzzz +=+
, (6.26)
(
)
212121
sinsincoscoscos zzzzzz −=+
. (6.27)
Докажем, например, формулу (6.26) (формула (6.27) доказывается аналогично). Используя (6.12), (6.13) и (6.15), получаем

Страницы