Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

0
ee
T
=
. (6.39)
В силу (6.23)
(
)
1 2 1
2 2
cos sin
T iT T
T
e e e T i T
+
= = +
и равенство (6.39) принимает вид
(
)
1
2 2
cos sin 1
T
e T i T
+ =
,
откуда получаем
1
1
==
T
T
ee
, следовательно,
0
1
=T
;
kT π+= 20
2
,
Ζ∈k
. Итак, комплексное число
0
21
≠+= iTTT
является периодом функции
z
e
только в том случае, когда
0
1
=T
,
kT π= 2
2
,
Ζ∈k
,
0≠k
.
Получили: любое комплексное число вида
kiT π= 2
,
Ζ∈k
,
0≠k
, является периодом функции
z
e
:
zkiz
ee =
π+2
,
Χ
∈
∀
,
Ζ∈∀k
. (6.40)
В качестве основного периода функции
z
e
берётся число
iT π=
2
0
, получаемое при
1
=k
.
Из (6.40) видно, что
z
ew =
,
Χ
∈
, является многолистной функцией.
Определение 6.1. Областью однолистности многолистной функции
)(
zfw =
называется область
|
Χ⊂D
1 2 1 2
, ,
z z D z z
∀ ∈ ≠ ⇒
(
)
(
)
21
zfzf ≠
.
Согласно определению 6.1 областями однолистности показательной функции
z
ew =
являются области комплексной
плоскости , которые отображение
)(
zfw =
переводит взаимно однозначно в соответствующие области комплексной
переменной .
Простейшей областью однолистности функции
z
ew =
является прямоугольная горизонтальная полоса шириной
h
(
π≤<
20
h
)
{
}
hzzD
h
+ϕ<<ϕ∈=
Im|
Χ
(рис. 6.1).
Действительно,
(
)
1 2 1 2 1 2
, Im 2 arg arg 2
h
z z D z z h z z ki
∀ ∈ ⇒ − < ≤ π ⇒ − ≠ π
,
Ζ∈∀k
⇒
21
zz
ee ≠
.
Образом полосы
h
D
при отображении
)(zfw =
является угол
h
G
раствора
h
с вершиной в начале координат,
стороны которого образуют с действительной осью углы
ϕ
и
h+ϕ
[1.2, с. 84] (рис. 6.2).
Рис. 6.1
Рис. 6.2

Страницы