Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Но
0)1(
2
sin ≠−=
π+
π
k
k
,
Ζ∈∀k
. Значит,
0sh = y
, т.е.
(
)
0
2
1
=−
− yy
ee
, следовательно,
0
=
y
.
Таким
образом
,
множество
решений
уравнения
(6.42)
имеет
вид
kikz π+
π
=⋅+
π+
π
=
2
0
2
,
Ζ∈k
.
А
это
означает
,
что
справедливо
соотношение
(6.41).
Замечание 6.4. Множество
нулей
функции
zsin
имеет
вид
(
)
{
}
Ζ∈π= kkzN ,sin
. (6.46)
Действительно
,
множество
нулей
функции
zsin
совпадает
с
множеством
решений
уравнения
0sin =z
. (6.47)
В
силу
формулы
(6.29)
справедливо
равенство
π
−=
2
cossin zz
.
Тогда
уравнение
(6.47)
принимает
вид
0
2
cos =
π
−z
. (6.48)
В
силу
замечания
6.3
множество
решений
уравнения
(6.48)
имеет
вид
mz π+
π
=
π
−
2
2
,
Ζ
∈
m
или
)1( +π= mz
,
Ζ
∈
m
,
или
,
полагая
km =+1
,
kz π=
,
Ζ∈k
.
А
это
означает
,
что
справедливо
соотношение
(6.46).
В
силу
замечаний
6.3, 6.4
( )
∈π+
π
≠∈= ΖΧ kkzzzD ,
2
| tg
,
(
)
{
}
ΖΧ ∈π≠∈= kkzzzD ,| ctg
.
В
силу
(6.8)
zz tg)( tg −=−
,
zz ctg)(ctg −=−
. (6.49)
Из
(6.32), (6.33)
следуют
формулы
,
выражающие
тригонометрические
функции
z tg
и
z ctg
через
гиперболические
функции
:
iziz th tg −=
, (6.50)
iziz cth ctg =
. (6.51)
Заменяя
в
равенствах
(6.50), (6.51)
z
на
iz
−
и
учитывая
соотношения
(6.49),
получаем
формулы
,
выражающие
гиперболические
функции
zth
и
zcth
через
тригонометрические
функции
:
izi z tgth −=
,
izi z ctgcth =
,
следовательно
,
ziiz th tg =
,
ziiz cth ctg −=
.
Логарифмическая
функция
комплексного
переменного
определяется
как
функция
,
обратная
показательной
функции
.
Определение 6.3.
Логарифмом комплексного числа
Χ
z
,
0
≠
z
,
называется
любое
комплексное
число
zew
w
=|
.
Замечание 6.5.
Условие
0
≠
z
в
определении
6.3
указывается
в
связи
с
тем
,
что
в
силу
(6.25)
значение
0
=
z
не
принадлежит
области
значений
показательной
функции
,
поэтому
логарифм
числа
0
=
z
не
существует
.
Замечание 6.6.
Число
ϕ+ρ= iw ln
0
является
логарифмом
комплексного
числа
(
)
cos sin
z i
= ρ ϕ+ ϕ
(
здесь
zz arg , =ϕ=ρ
).
Действительно
,
применяя
формулу
(6.23),
получаем
(
)
(
)
ziieee
i
w
=ϕ+ϕρ=ϕ+ϕ==
ρϕ+ρ
sincossincos
lnln
0
. (6.52)
Число
ϕ+ρ= iw ln
0
называется
главным значением логарифма
комплексного
числа
z
и
обозначается
z
ln
:
ϕ+ρ= iz lnln
или
в
других
обозначениях

Страницы