Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Определение 6.10. Арксинусом комплексного числа
Χ
∈
z
называется любое комплексное число
zww =sin|
.
Чтобы найти множество всех арксинусов данного комплексного числа
z
, нужно решить уравнение
zw =sin
,
которое в силу (6.12) можно записать в виде
z
i
ee
iwiw
=
−
−
2
.
Полагая
te
iw
=
, получаем
z
i
tt
=
−
−
2
1
или
012
2
=−− iztt
,
1
2
+−+= zizt
.
Итак,
2
1 zize
iw
−+=
. (6.70)
Заметим, что для
Χ
∈
∀
z
правая часть равенства (6.70) отлична от нуля (действительно, :
⇒=−+ 01
2
ziz
⇒−=− izz
2
1
⇒−=−
22
1 zz
01
=
− неверно. ).
Соотношение (6.70) означает, что
−+=
2
1Ln ziziw
, откуда
−+=
2
1Ln
1
ziz
i
w
.
Таким образом, множество всех арксинусов данного комплексного числа
z
задаётся формулой
(
)
2
1
Arcsin Ln 1
i
= + −
. (6.71)
Замечание 6.10. В формуле (6.71) для корня берутся оба его значения, ибо функция z является двузначной (см.
пример 5.2).
Формула (6.71) задаёт функцию
Arcsin
w z
=
,
Χ
∈
z
, обратную тригонометрической функции wz
sin=
.
Пример 6.5. Вычислим значение функции
Arcsin
z
при iz
=
:
(
)
( )
2 2
1 1
Arcsin Ln 1 Ln 1 2
i i i
i i
= + − = − ± =
( )
( )
( )
( )
( )
( )
1 1
Ln 1 2 ln 2 1 0 2 , ,
1 1
Ln 1 2 ln 2 1 2 , ,
i k k
i i
i k k
i i
− + − + + π ∈
= = =
− − + + π + π ∈
Z
Z
(
)
( )
( )
2 ln 2 1 , ,
2 1 ln 2 1 , .
k i k
k i k
π − − ∈
=
π + − + ∈
Z
Z
Получили
Arcsin
i
(
)
( )
( )
2 ln 2 1 , ,
2 1 ln 2 1 , .
k i k
k i k
π − − ∈
=
π + − + ∈
Z
Z
Аналогично формуле (6.71) получаются формулы, выражающие остальные обратные тригонометрические функции
комплексного переменного через логарифмическую функцию:
(
)
2
1
Arccos Ln 1
z z z
i
= + −
,
Χ
∈
z
; (6.72)

Страницы