Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Получили
(
)
(
)
(
)
00000
,, yxviyxuzw ∆+∆=∆
, (8.10)
где
(
)
00
, yxu∆
и
(
)
00
, yxv∆
– полные приращения вещественных функций
),( yxu
и
),( yxv
двух вещественных переменных
в точке
(
)
00
, yx
. Пусть
(
)
ibazf +=
′
0
, (8.11)
Тогда
(
)
(
)
(
)
(
)
0
f z z a ib x i y a x b y i b x a y
′
∆ = + ∆ + ∆ = ∆ − ∆ + ∆ + ∆
. (8.12)
Пусть
(
)
(
)
(
)
zizz ∆α+∆α=∆α
21
. Так как
(
)
0lim
0
=∆α
→∆
z
z
, то в силу теоремы 5.5
(
)
0lim
1
0
=∆α
→∆
z
z
,
(
)
0lim
2
0
=∆α
→∆
z
z
, (8.13)
т.е.
(
)
z∆α
1
,
(
)
z∆α
2
– б.м.в. при
0
→
∆
z
. Далее,
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2
α ∆ ∆ = α ∆ + α ∆ ∆ + ∆ =
(
)
(
)
(
)
(
)
1 2 2 1
z x z y i z x z y
= α ∆ ∆ − α ∆ ∆ + α ∆ ∆ + α ∆ ∆
. (8.14)
Покажем, что при
( ) ( )
2 2
0
z x y
ρ = ∆ = ∆ + ∆ →
(
)
(
)
(
)
1 2 1
z x z y o
α ∆ ∆ − α ∆ ∆ = ρ
, (8.15)
(
)
(
)
(
)
2 1 2
z x z y o
α ∆ ∆ + α ∆ ∆ = ρ
. (8.16)
Действительно, используя (1.20), (1.23), (1.27), получаем
(
)
(
)
( ) ( )
1 2
1 2
0
x y
z x z y
z z
∆ ∆
α ∆ ∆ − α ∆ ∆
≤ ≤ α ∆ ⋅ + α ∆ ⋅ ≤
ρ ρ ρ
(
)
(
)
1 2
0
z z
≤ α ∆ + α ∆ →
, (8.17)
ибо в силу (5.11), (8.13)
(
)
1
0
lim 0
z
z
∆ →
α ∆ =
,
(
)
2
0
lim 0
z
z
∆ →
α ∆ =
.
Из (8.17) следует, что
(
)
(
)
1 2
0
lim 0
z x z y
ρ→
α ∆ ∆ − α ∆ ∆
=
ρ
,
откуда в силу (5.11)
(
)
(
)
1 2
0
lim 0
z x z y
ρ→
α ∆ ∆ − α ∆ ∆
=
ρ
,
а это означает справедливость (8.15). Аналогично показывается (8.16). В силу (8.14) – (8.16)
(
)
(
)
(
)
1 2
z z o io
α ∆ ∆ = ρ + ρ
. (8.18)
В силу (8.9), (8.10), (8.12), (8.18)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
ρ+ρ+∆+∆+∆−∆=∆+∆
210000
,, ooyaxbiybxayxviyxu
,
откуда получаем
(
)
(
)
ρ+∆−∆=∆
100
, oybxayxu
, (8.19)
(
)
(
)
ρ+∆+∆=∆
200
, oyaxbyxv
, (8.20)
где
(
)
ρ
1
o
,
(
)
ρ
2
o
– б.м.в. высшего порядка по сравнению с
ρ
при
0
→
ρ
.
Соотношения
(8.19), (8.20)
означают
по
определению
дифференцируемости
вещественной
функции
двух
вещественных
переменных
[2.8,
с
. 500],
что
функции
),( yxu
и
),( yxv
дифференцируемы
в
точке
(
)
00
, yx
.
Кроме
того
,
в
силу
необходимого
признака
дифференцируемости

Страницы