Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 66 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

комплексного переменного
iyxz
+
=
является аналитической в этой области. Получили следующий признак аналитичности
функции в области.
Теорема 9.7. Аналитичность функции
),(),()(
yxivyxuzf
+
=
комплексного
переменного
iyxz
+
=
в
области
D
равносильна
тому
,
что
её
действительная
и
мнимая
части
являются
сопряжёнными
гармоническими
функциями
в
этой
области
.
Ставится
вопрос
:
для
всякой
ли
гармонической
в
данной
области
функции
существует
сопряжённая
с
ней
гармоническая
в
этой
области
функция
,
другими
словами
,
всякая
ли
гармоническая
в
данной
области
функция
является
действительной
(
мнимой
)
частью
некоторой
аналитической
в
этой
области
функции
.
Теорема 9.8
[1.4,
с
. 135].
Для
всякой
гармонической
в
односвязной
области
D
функции
),( yxϕ
существует
сопряженная
с
ней
гармоническая
в
D
функция
),( yxψ
,
при
этом
функция
),( yxψ
определяется
с
точностью
до
постоянного
слагаемого
.
Таким
образом
,
всякая
гармоническая
в
односвязной
области
D
функция
),( yxϕ
является
действительной
(
мнимой
)
частью
некоторой
аналитической
в
D
функции
.
Если
известна
действительная
(
мнимая
)
часть
аналитической
в
области
функции
,
то
с
помощью
условий
Коши
-
Римана
можно
найти
её
мнимую
(
действительную
)
часть
и
тем
самым
восстановить
аналитическую
функцию
.
Пример 9.8.
Найти
аналитическую
функцию
),(),()( yxivyxuzf
+
=
комплексного
переменного
,
iyxz
+
=
если
,2),(
22
xyxyxu +−=
12)( −= iif
.
Решение. По
условию
задачи
xyxyxu 2),(
22
+−=
,
следовательно
,
=
)(
zf
(
)
(
)
yxivxyx ,2
22
++−
. (9.12)
Для
нахождения
),( yxv
воспользуемся
условиями
Коши
-
Римана
(
)
(
)
x
yxu
y
yxv
∂
∂
=
∂
∂ ,,
, (9.13)
(
)
(
)
y
yxu
x
yxv
∂
∂
−=
∂
∂ ,,
. (9.14)
Имеем
(
)
(
)
222
,
22
+=+−
∂
∂
=
∂
∂
xxyx
xx
yxu
,
(
)
(
)
yxyx
yy
yxu
22
,
22
−=+−
∂
∂
=
∂
∂
и
соотношения
(9.13), (9.14)
принимают
вид
(
)
22
,
+=
∂
∂
x
y
yxv
, (9.15)
(
)
y
x
yxv
2
,
=
∂
∂
. (9.16)
Из
уравнения
(9.16) (
берём
наиболее
простое
уравнение
)
находим
( )
(
)
( ) ( ) ( )
yxyydxyydx
x
yxv
yxv ψ+=ψ+=ψ+
∂
∂
=
∫∫
22
,
,
.
Получили
(
)
(
)
yxyyxv ψ+= 2,
. (9.17)
Тогда
(
)
( )( ) ( )
yxyxy
yy
yxv
ψ
′
+=ψ+
∂
∂
=
∂
∂
22
,
и
соотношение
(9.15)
принимает
вид
(
)
,222 +=ψ
′
+ xyx
откуда
(
)
2=ψ
′
y
,
(
)
Cydyy +==ψ
∫
22
.
Получили
(
)
Cyy +=ψ 2
. (9.18)
В
силу
(9.17), (9.18)
(
)
Cyxyyxv ++= 22,
. (9.19)
В
силу
(9.12), (9.19)
(
)
(
)
Cyxyixyxzf ++++−= 222)(
22
. (9.20)

Страницы