Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Теорема 11.5. Пусть функция
)(zf
аналитична в области
G
; D – n-связная область с положительно ориентированной
границей
1210
...
−
∪∪∪∪=
nD
ГГГГГ
s
s
s
,
расположенная вместе со своей границей в области
,G
т.е. GГDD
D
⊂∪= (рис. 11.6). Тогда
0)( =
∫
D
Г
dzzf . (11.26)
Рис. 11.6
Выберем на контуре
0
Г
точку
0
M и соединим её простой гладкой кривой
1
γ
с некоторой точкой
1
M на контуре
1
Г
;
выберем на контуре
1
Г
точку
1
N и соединим её простой гладкой кривой
2
γ
с некоторой точкой
2
M на контуре
2
Г
и т.д.
Рассмотрим положительно ориентированные замкнутые простые кусочно-гладкие контуры
1 1 1 1 1 2 2 2 2 0 0 0
... ...
i i i i n
L M P N M P N M PN N P M
= γ ∪ ∪ γ ∪ ∪ ∪ γ ∪ ∪ ∪ γ ∪
,
......
1110002
∪γ∪∪∪∪γ∪=
−−− iiiinnnn
MQNMQNNQML
s
s
11112222
... γ∪∪γ∪∪
s
s
MQNMQN .
В силу теоремы 11.1 и замечания 11.2
( )
1
0
L
f z dz
=
∫
,
( )
2
0
L
f z dz
=
∫
,
Следовательно,
( ) ( )
1 2
0
L L
f z dz f z dz
+ =
∫ ∫
. (11.27)
С другой стороны, используя свойства (10.27), (10.24), получаем
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
1 2 0 1 2
...
L L Г Г Г
f z dz f z dz f z dz f z dz f z dz
∫ ∫ ∫ ∫ ∫
( )
1
...
n
Г
f z dz
−
+
∫
1
0
1
( ) ( )
n
D
i
i
Г
Г
Г
f z dz f z dz
−
=
∪
= =
∫ ∫
s
U
. (11.28)
Из (11.27), (11.28) следует формула (11.26).
В более подробной записи формула (11.26) имеет вид
( ) ( ) ( ) ( )
0 1 2 1
... 0
n
Г Г Г Г
f z dz f z dz f z dz f z dz
−
+ + + + =
∫ ∫ ∫ ∫
. (11.29)
В силу (11.29)

Страницы