Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

аналитична на множестве
{
}
1 ;1\ −Χ
как частное двух аналитических на этом множестве функций (см. теорему 9.5, пример
9.3), т.е.
)(zg
имеет лишь две особые точки
,1
1
−=z 1
2
=z
(
1
z
и
2
z
являются изолированными особыми точками функции
)(zg
). Пусть
D
– внутренность кривой
Г
(рис. 12.2).
Рис. 12.2
Запишем функцию
)(zg
в виде
)1(
1
)(
−−
−
=
z
z
z
zg
.
Функция
1
)(
−
=
z
z
zf
аналитична в замкнутой области
Г
D
D
∪
=
(функция
)(zf
имеет единственную особую точку
1
2
=z
, но Dz ∈
2
). Следовательно, применима формула (12.13):
( )
2
1
( 1)
1
Г Г
z
zdz
z
I dz if
z
z
−
= = = π − =
− −
−
∫ ∫
1
2
1 1
i i
−
π ⋅ = π
− −
;
iI
π
=
.
Пусть требуется вычислить контурный интеграл вида
(
)
( )( )
1 2
Г
f z
dz
z z z z− −
∫
, (12.14)
где
Г
– замкнутый простой контур; функция
)(zf
аналитична на
Г
и в односвязной области
D
, ограниченной кривой
Г
;
Dzz ∈
21
,
. Построим непересекающиеся между собой и не выходящие за пределы области
D
замкнутые простые гладкие
или кусочно-гладкие контуры
1
Г
и
2
Г
, охватывающие соответственно точки
1
z
и
2
z
(в качестве контуров
1
Г
и
2
Г
можно
взять две непересекающиеся между собой окружности с центрами в точках
1
z
и
2
z
соответственно, не выходящие за
пределы области
D
) (рис. 12.3).
Рис. 12.3
Рассмотрим трёхсвязную область
Ω
с границей
21
ГГГГ ∪∪=
Ω
. Подынтегральная функция
( )
(
)
( )( )
1 2
f z
g z
z z z z
=
− −
аналитична на
Ω
∪Ω=Ω
Г , т.е. аналитична в некоторой области
Ω⊃G
. Следовательно, в силу интегральной теоремы
Коши для многосвязной области (см. формулу (11.30))

Страницы