Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 87 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Функция
( )( )
1
1
( )
3 5
f z
z i z
=
− +
аналитична в замкнутой области
111
ГDD ∪= (функция
)(
1
zf
имеет две особые точки
iz 3
2
=
,
5
3
−=z
, но
132
,
Dzz ∈
). По формуле (12.13)
( )( )
( )( )
1
1
3
1
3 5
1
2
( 3 ) 3 5
z i
Г
z i z
I dz i
z i z i z
=−
− +
= = π ⋅ =
− − − +
∫
( )( )
( )
( )
2
2
1 1 5 3
2 5 3
3 3 3 5 3 5 3 3 102
5 3
i
i i
i i i i
π π + π
= π ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − +
− − − + −
+ −
;
( )
5 3
102
I i
π
= − +
.
Вычислим
( )
( )
2
2
2
Г
dz
I
z z
=
+ +
∫
.
Запишем функцию
(
)
zg
в виде
( )( )
1
3 5
( )
3
z i z
g z
z i
+ +
=
−
.
Функция
( )( )
2
1
( )
3 5
f z
z i z
=
+ +
аналитична в замкнутой области
222
Г
DD ∪=
(функция
)(
2
zf
имеет две особые точки
,3
1
iz −=
5
3
−=z
, но
231
, Dzz ∈
). По формуле (12.13):
( )( )
( )( )
2
2
3
1
3 5
1
2
3 3 5
z i
Г
z i z
I dz i
z i z i z
=
+ +
= = π ⋅ =
− + +
∫
( )( )
( )
2 2
1 1 5 3
2 5 3
3 3 3 5 3 5 3 3 102
5 3
i
i i
i i i i
π π − π
= π ⋅ = ⋅ = ⋅ = −
+ + +
+
;
( )
iI 35
102
2
−
π
=
.
( ) ( )
17
35
102
35
102
21
i
iiIII
π
−=−
π
++
π
−=+=
;
17
i
I
π
−=
.
Пусть функция
)(zfw =
определена и непрерывна на гладкой или кусочно-гладкой кривой
γ
.
Определение 12.1. Интегралом типа Коши от функции
)(zf
вдоль кривой
γ
называется интеграл вида
∫
γ
ζ
−ζ
ζ
π
= d
z
f
i
zI
)(
2
1
)(
,
γ∈ \Χz
. (12.16)
Определение 12.1 корректно, ибо при произвольном фиксированном
γ∈ \Χz
и любом
γ
∈
ζ
выполняется условие
0
≠
−
ζ
z
, следовательно, подынтегральная функция
)/()()( zfg −ζζ=ζ
непрерывна на
γ
как отношение двух непрерывных на
γ
функций (см. следствие 5.4), а, значит, существует интеграл вида (12.16) (см. теорему 10.2, замечание 10.3).
Таким образом, формула (12.16) определяет функцию
ΧΧ →γ\ :I
.
Теорема 12.2. Функция
)(zI
дифференцируема на множестве
γ\ Χ
и её производная выражается формулой
( )
∫
γ
ζ
−ζ
ζ
π
=
′
d
z
f
i
zI
2
)(
2
1
)(
. (12.17)
Зафиксируем произвольную точку
γ∈ \Χz
. По определению производной функции в точке, нужно показать, что
( )
∫
γ
→∆
ζ
−ζ
ζ
π
=
∆
∆
∃ d
z
f
iz
zI
z
2
0
)(
2
1)(
lim
, (12.18)
где
)()()( zIzzIzI −∆+=∆
. Пусть
ζ−=
γ∈ζ
zd inf
, т.е.
d
– расстояние от точки
z
до кривой
γ
. Тогда
dz ≥−ζ
,
γ
∈
ζ
∀
. (12.19)

Страницы