Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) ln ( ) ln ( ) arg ( ) ln arg ( )
g z f z f z i f z M i f z
= = + = +
.
В силу аналитичности главной ветви
zw ln=
логарифмической функции
z
Ln
на множестве
{
}
0\Χ
(см. пример 9.2),
аналитичности функции
)(zf
в области
D
и следствия 8.8 сложная функция
)(ln)( zfzg =
аналитична в области
D
. Её
действительная часть
),(
~
yxu
имеет вид
constln),(
~
=≡ Myxu
,
D
z
∈
∀
. Следовательно, в силу леммы 13.1
const)( ≡zg
,
D
z
∈
∀
const)( ≡⇒ zf
,
D
z
∈
∀
.
Пусть функция
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного переменного
iyxz
аналитична в ограниченной области
D
и
непрерывна на её границе
Г
. Из аналитичности функции
)(zf
в области
D
следует её непрерывность в
D
(см. замечание
9.3). Таким образом, функция
)(zf
непрерывна в замкнутой области
Г
D
D
∪
. Следовательно, в силу замечания 5.10
модуль функции
)(zf
, т.е. вещественная функция
[ ] [ ]
2 2
( ) ( , ) ( , )
f z u x y v x y
= +
(13.5)
двух вещественных переменных
x
,
y
непрерывна на замкнутом ограниченном множестве
D
. По второй теореме
Вейерштрасса для функций нескольких переменных [2.8, с. 496] функция (13.5) достигает на множестве
D
своих
наибольшего и наименьшего значений.
Докажем принцип максимума модуля аналитической функции.
Теорема 13.1. Пусть функция
),(),()( yxivyxuzf +=
комплексного переменного
iyxz
аналитична в ограниченной
области
D
и непрерывна на её границе
Г
. Тогда, если функция
)(zf
не равна тождественно постоянной в области
D
, то
её модуль достигает своего наибольшего значения
M
на множестве
Г
D
D
∪
лишь в точках границы
Г
области
D
, т.е.
( )
f z M
<
,
D
z
∈
∀
. (13.6)
:
| ( )
z D f z M
∃ ∈ =
. Пусть
{
}
| ( )
G z D f z M
= ∈ =
. Если предположить, что
DG
, т.е.
( )
f z M
≡
для
D
z
∈
∀
,
то в силу леммы 13.2
const)( ≡zf
,
D
z
∈
∀
, а это противоречит условию теоремы. Значит,
DG
≠
(рис. 13.1).
Рис. 13.1
Тогда существует граничная точка
0
z
множества
G
, принадлежащая области
.D
Пусть
Ν
∈
n
. По определению граничной
точки множества, для
(
)
(
)
1 0 1 0
|
n n
n n
O z z O z z G
∀ ∃ ∈ ∈
.
Получили последовательность
{
}
|Gz
n
⊂
0
n
n
z z
→∞
→
, ибо
0
1
→
n
при
∞
→
n
. Функция
( )
f z
непрерывна в точке
0
z
, т.е.
(
)
(
)
0
0
lim
z z
f z f z
→
=
.
Тогда [2.8, с. 486]
(
)
(
)
0
lim
n
n
f z f z
→∞
=
. (13.7)
Имеем
Gz
n
∈
, т.е.
(
)
n
f z M
=
,
Ν
∈
∀
n
. Тогда в силу (13.7)

Страницы