Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

2
2
0
( )
f M
d l
z r
γ
γ
ζ
ζ ≤
ζ −
∫
, (13.18)
где
1
γ
l
и
2
γ
l
– длины кривых
1
γ
и
2
γ
соответственно.
В силу (13.15), (13.17), (13.18)
( )
1 2
0
1
2
M M
f z l l
r r
γ γ
− ε
≤ + =
π
( )
1 2 1 1
1 1
2 2
M M
l l l l l
r r r r
γ γ γ γ γ
ε ε
= + − = − =
π π
1 1
1
2
2 2
M
r r r
γ γ
ε ε
= π − = − <
π π
.
Получили
(
)
0
f z M
<
, что противоречит (13.8). .
Следствие 13.1. Если модуль аналитической в области
D
и непрерывной на границе
Г
области
D
функции
)(zf
принимает наибольшее значение в точке
Dz ∈
0
, то
const)( ≡zf
в области
D
.
Следствие 13.2. Пусть функция
)(zf
не является постоянной в области
D
, аналитична в
D
, непрерывна на границе
Г
области
D
и, кроме того,
0)( ≠zf
для
Г
D
D
z
∪
=
∈
∀
. Тогда модуль функции
)(zf
достигает своего наименьшего
значения
m
на множестве
Г
D
D
∪
=
лишь в точках границы
Г
области
D
, т.е.
( )
f z m
>
,
D
z
∈
∀
.
Действительно, рассмотрим функцию
)(
1
)(
zf
zg
=
. Функция
)(
zg
удовлетворяет условиям теоремы 13.1.
Следовательно,
1
( )
( )
g z
f z
=
достигает своего наибольшего значения на множестве
Г
D
D
∪
=
лишь в точках границы
Г
.
Но
( )
g z
достигает своего наибольшего значения в тех точках, в каких
( )
f z
достигает своего наименьшего значения.
Следовательно,
( )
f z
достигает своего наименьшего значения на множестве
Г
D
D
∪
=
лишь в точках границы
Г
.
Следствие 13.3. Если функция
)(zf
аналитична в области
D
, непрерывна на границе
Г
области
D
, не имеет нулей в
замкнутой области
Г
D
D
∪
=
и её модуль принимает наименьшее значение в точке
Dz ∈
0
, то
const)( ≡zf
в области
D
.
14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ
С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧЛЕНАМИ
Функциональный ряд; точки сходимости и область сходимости функционального ряда; частичная сумма и сумма
функционального ряда; остаток функционального ряда; связь между сходимостью функционального ряда и сходимостью
его остатка; точки абсолютной сходимости и область абсолютной сходимости функционального ряда; равномерно
сходящиеся ряды; мажорируемые ряды; признак Вейерштрасса; теорема о непрерывности суммы функционального ряда;
теорема о почленном интегрировании функционального ряда; теорема о почленном дифференцировании функционального
ряда; степенные ряды: теорема Абеля; интервал сходимости, радиус сходимости; теорема о равномерной сходимости
степенного ряда; теорема о непрерывности суммы степенного ряда; теорема о почленном интегрировании степенного
ряда; теорема о почленном дифференцировании степенного ряда.
Рассмотрим функциональный ряд с комплексными членами
(
)
(
)
(
)
......
21
++++ zfzfzf
n
или в более краткой записи
( )
∑
∞
=
1
n
n
zf
, (14.1)
где
(
)
zf
n
(
Ν
∈
n
) – некоторые заданные функции комплексного переменного
Gz
∈
,
Χ
⊆
G
, называемые членами ряда.
Основные понятия для ряда (14.1) вводятся точно так же, как и для функционального ряда с вещественными членами.
Каждому фиксированному значению
Gz ∈
0
соответствует числовой ряд с комплексными членами
( )
∑
∞
=
1
0
n
n
zf
. (14.2)
Этот числовой ряд либо сходится, либо расходится.

Страницы