Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( )
z
z
zzS
nn
k
n
n
−
−
==
∑
−
=
1
1
1
0
.
Если
(
)
0
1
Oz ∈
, т.е.
1<z
, то
0limlim ==
∞→∞→
n
n
n
n
zz
, следовательно, в силу (5.11)
0lim =
∞→
n
n
z
. Тогда
( )
z
z
z
zS
n
n
n
n
−
=
−
−
=
∞→∞→
1
1
1
1
limlim
,
а это означает, что сумма ряда (14.35) равна
z
−
1
1
:
∑
∞
=
=
−
0
1
1
n
n
z
z
,
(
)
0
1
Oz ∈
. (14.36)
Пример 14.2. Найдём круг сходимости и сумму степенного ряда
∑
∞
=
−
0
)1(
n
nn
z
. (14.37)
Ряд (14.37) можно записать в виде (14.35):
∑
∞
=
−
0
)(
n
n
z
.
Учитывая, что
(
)
⇔∈− 0
1
Oz
(
)
0
1
Oz ∈
и заменяя в формуле (14.36)
z
на
z
−
, приходим к выводу: кругом сходимости ряда
(14.37) является круг
(
)
0
1
O
; сумма ряда (14.37) равна
∑
∞
=
−=
+
0
)1(
1
1
n
nn
z
z
,
(
)
0
1
Oz ∈
. (14.38)
Пример 14.3. Найдём круг сходимости степенного ряда
∑
∞
=
+
0
1
n
n
n
z
n
i
. (14.39)
Имеем
1+
=
n
i
c
n
n
,
1
1 1 1
n
n
n
i
i
c
n n n
= = =
+ + +
.
По формуле (14.33)
1
1
2
lim
2
1
:
1
1
limlim
1
=
+
+
=
++
==
∞→∞→
+
∞→
n
n
nnc
c
R
nn
n
n
n
.
Получили
1
=
R
. Следовательно, кругом сходимости степенного ряда (14.39) является круг
(
)
0
1
O
(рис. 14.5).
Рис. 14.5
На границе круга сходимости, т.е. на окружности
(
)
0
1
S
имеются точки сходимости и точки расходимости ряда (14.39).
Например, в точке
iz =
1
ряд (14.39) принимает вид

Страницы