Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 106 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

Имеем
iz += 1
0
,
( )
1 3
4
n
n
n
i
c
+
=
,
( )
1 3
1 3
2 1
4 4 4 2
n
n
n
n
n n n n
i
i
c
+
+
= = = =
,
1 1 1
lim lim lim
2 2
2
n
n
n
n
n n n
c
→∞ →∞ →∞
.
По формуле (14.34)
1 1
2
1
lim
2
n
n
n
R
c
→∞
= = =
.
Получили
2
=
R
. Следовательно, кругом сходимости степенного ряда (14.41) является круг
(
)
iO +1
2
(рис. 14.7).
Степенные ряды обладают некоторыми замечательными свойствами, обеспечивающими широкое применение
степенных рядов в различных вопросах.
Рис. 14.7
Теорема 14.11. Степенной ряд (14.30) сходится равномерно в любом замкнутом круге
(
)
0
zO
r
, содержащемся в его
круге сходимости
(
)
0
zO
R
(предполагается, что
∞
<
<
R0
).
Зафиксируем произвольный замкнутый круг
(
)
0
zO
r
|
(
)
(
)
00
zOzO
Rr
⊂
(рис. 14.8).
Рис. 14.8
Возьмём какую-либо точку
(
)
0*
zSz
r
∈
. В силу теоремы 14.10 степенной ряд (14.30) сходится абсолютно в круге сходимости
(
)
0
zO
R
, в частности, он сходится абсолютно во взятой точке
*
z
, а это означает, по определению абсолютной сходимости,
что сходится знакоположительный ряд
( )
* 0
0
n
n
n
c z z
∞
=
−
∑
. (14.42)

Страницы