Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 109 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

( ) ( )
1
0 0
0 1
n n
n n
n n
c z z nc z z
∞ ∞
−
= =
′
− = −
∑ ∑
, (14.47)
и говорят о почленном дифференцировании степенного ряда.
В случае
0
0
=z
формулы (14.46), (14.47) принимают вид
( )
( )
( )
0 0
k
k
n n
n n
n n
c z c z
∞ ∞
= =
=
∑ ∑
,
1
0 1
n n
n n
n n
c z nc z
∞ ∞
= =
′
=
∑ ∑
.
Теорема 14.15 называется теоремой о почленном дифференцировании степенного ряда.
Замечание 14.4. Коэффициенты степенного ряда (14.30) выражаются через его сумму
(
)
zS
и производные
(
)
zS
n)(
в
точке
0
z
формулой
(
)
( )
0
!
n
n
S z
c
n
=
,
{
}
0∪∈ Νn
. (14.48)
Действительно, так как
( )
( )
0 0
1
n
n
n
S z c c z z
∞
=
= + −
∑
,
то
(
)
00
czS =
, т.е.
(
)
00
zSc =
(14.49)
(см. замечание 14.3). Далее, в силу (14.44) для
Ν∈∀k
( )
( ) ( )
1
( ) ( )
( )
0 0
0
k
k k
n n
k
n n
n n k
S z c z z c z z
− ∞
= =
= − + − =
∑ ∑
( )
( )
0
0 ( 1) ... ( 1)
n k
n
n k
c n n n k z z
∞
−
=
= + − ⋅ ⋅ − − −
∑
.
Получили
( ) ( )
( )
( )
0
( 1) ... ( 1)
n k
k
n
n k
S z c n n n k z z
∞
−
=
= − ⋅ ⋅ − − −
∑
.
При
0
zz =
(
)
!1...)1(
0
)(
kckkczS
kk
k
=⋅⋅−=
,
откуда
(
)
!/
0
)(
kzSc
k
k
=
,
Ν∈∀
k
. Переобозначая
k
через
n
и учитывая договорённости о том, что
(
)
(
)
00
)0(
zSzS
=
,
1!0
=
,
получаем формулу (14.48).
15. РЯД ТЕЙЛОРА
Разложение аналитической функции в ряд Тейлора; единственность представления аналитической в открытом круге
функции в виде суммы степенного ряда; неравенства Коши; теорема Лиувилля; основная теорема алгебры комплексных
чисел; разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора.
В предыдущем параграфе было установлено, что сумма произвольного степенного ряда является аналитической
функцией в круге сходимости этого ряда (см. теорему 14.14). Возникает обратный вопрос: всякую ли аналитическую в
открытом круге функцию можно представить в виде суммы степенного ряда. Ответ на этот вопрос даёт следующее
утверждение.
Теорема 15.1. Если функция
(
)
zfw
=
аналитична в открытом круге
(
)
{
}
RzzzzO
R
<−∈=
00
:Χ
, то она представима в
этом круге в виде суммы степенного ряда:
( )
( )
0
0
n
n
n
f z c z z
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
R
∈
, (15.1)
коэффициенты которого вычисляются по формуле

Страницы