Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

В условиях теоремы 15.1 функция
(
)
zf
аналитична в односвязной области
(
)
0
zO
r
и на её границе
γ
. Значит, в силу
следствия 12.3
(
)
( )
( )
( )
0
1
0
2
!
n
n
f
i
d f z
n
z
+
γ
ζ
π
ζ =
ζ −
∫
и формула для коэффициентов степенного ряда (15.1) принимает вид
(
)
!
0
)(
n
zf
c
n
n
=
,
{
}
0
∪∈ Νn
(15.14)
(по определению,
(
)
(
)
00
)0(
zfzf =
). Тогда соотношение (15.1) можно записать в виде
( )
(
)
( )
( )
0
0
0
!
n
n
n
f z
n
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
R
∈
. (15.15)
В случае
0
0
=z
( )
(
)
n
n
n
z
n
f
zf
∑
∞
=
=
0
)(
!
0
,
(
)
0
R
Oz ∈
. (15.16)
Степенной ряд в правой части представления (15.1) с коэффициентами, вычисляемыми по формуле (15.2) (или по
формуле (15.14)) называется рядом Тейлора функции
(
)
zf
в R-окрестности точки
0
z
. Соотношение (15.1),
представляющее аналитическую функцию
(
)
zf
в виде суммы её ряда Тейлора, называется разложением функции
(
)
zf
в ряд
Тейлора в R-окрестности точки
0
z
.
Из замечания 14.4 следует
Замечание 15.2. Всякий степенной ряд
( )
0
0
n
n
n
c z z
∞
=
−
∑
,
имеющий положительный радиус сходимости R, является рядом Тейлора своей суммы
(
)
zS
в R-окрестности точки
0
z
.
В силу замечания 15.2 справедливо
Замечание 15.3. Если функция
(
)
zfw =
аналитична в открытом круге
(
)
0
zO
R
и представима в этом круге в виде
суммы степенного ряда
( )
( )
0
0
n
n
n
f z c z z
∞
=
= −
∑
,
(
)
0
zOz
R
∈
, (15.17)
то этот ряд является рядом Тейлора функции
(
)
zf
в R-окрестности точки
,
0
z
т.е. коэффициенты этого ряда вычисляются по
формуле (15.14).
В силу теоремы 15.1 и замечания 15.3 справедливо следующее утверждение.
Теорема 15.2. Функция
(
)
zf
, аналитическая в открытом круге
(
)
0
zO
R
, единственным образом представима в этом
круге в виде суммы степенного ряда по степеням
0
zz −
и этот степенной ряд является рядом Тейлора функции
(
)
zf
в R-
окрестности точки
0
z
.
Следствие 15.1. Функция
(
)
zf
, аналитическая в точке
0
z
, единственным образом представима в некоторой δ-
окрестности точки
0
z
в виде суммы степенного ряда по степеням
0
zz −
и этот степенной ряд является рядом Тейлора
функции
(
)
zf
в δ-окрестности точки
0
z
.
Действительно, из аналитичности функции
(
)
zf
в точки
0
z
следует её аналитичность в некоторой δ-окрестности этой
точки (см. замечание 9.1). Таким образом, функция
(
)
zf
аналитична в открытом круге
(
)
0
zO
δ
. Значит, в силу теоремы 15.2
справедливо утверждение следствия 15.1.
Замечание 15.4. Если функция
(
)
zf
аналитична в точке
0
z
и множество её особых точек непусто, то радиус
сходимости
R
ряда Тейлора функции
(
)
zf
в окрестности точки
0
z
равен расстоянию от точки
0
z
до ближайшей к ней
особой точки
z
ˆ
функции
(
)
zf
:
0
ˆ
zzR −=
. (15.18)

Страницы