Теория функций комплексного переменного. Фомин В.И. - 158 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТГТУ | Тамбов

Составители: 

Рубрика: 

геом. задач (на касательные, кривизну, экстремумы, квадратуры, спрямления и др.), а также представив в элементарных
функциях ряд интегралов от функций, к-рые содержат кв. корень из кв. трёхчлена. Большое внимание уделено
интегрированию обыкновенных дифференциальных ур-ний, решены нек-рые задачи вариационного исчисления. Г.В.
Лейбниц на 28 лет раньше Н. опубл. своё открытие анализа бесконечно малых, но Н. на 10 лет раньше его установил наличие
двух больших взаимно связанных исчислений, полностью понял их значение для изучения природы и пользовался ими в
своих науч. достижениях. Работа Н. "Математические начала натуральной философии", создававшаяся в течение 20 лет и
вышедшая через три года после публикации Г. Лейбница, проникнута духом новых исчислений, выявляет всё могущество
этих исчислений в изучении природы и умение Н. их применять. Вклад Н. в математику не исчерпывается созданием
дифференциального и интегрального исчислений. В алгебре ему принадлежат: метод численного решения алгебр. ур-ний
(метод Н.), важные теоремы о симметричных функциях корней алгебр. ур-ний, об отделении корней, о приводимости ур-ний
и т.д. Алгебра у Н. имеет геом. форму. Его определение числа не как совокупности единиц, а как отношения длины любого
отрезка к отрезку, принятому за единицу, сыграло важную роль в развитии учения о числе. "Математические начала
натуральной философии" (1678) Н. содержат развитую теорию конических сечений, необходимую для иссл. движения
планет и комет. В "Перечислении кривых третьего порядка" (1704) Н. дал классификацию этих кривых, обобщил понятия
диаметра и центра, указал способы построения кривых 2-го и 3-го порядков по разл. условиям. Эта работа сыграла важную
роль в развитии аналитической геометрии и частично проективной геометрии. В "Методе разностей" (1711) Н. решил задачу
о проведении через
1
n
+
данную точку с равноудалёнными или неравноудалёнными абсциссами параболической кривой n-
го порядка и предложил интерполяционную ф-лу, названную его именем.
Достижения Н. в механике были подготовлены работами Г. Галилея, X. Гюйгенса и др. учёных. В "Математических
началах натуральной философии" Н. свёл все известные до него и все найденные им самим сведения о движении и силе в
одну дедуктивную систему. Установив неск. осн. законов механики (закон инерции, закон независимого действия сил, закон
о равенстве действия и противодействия), Н. вывел из них все др. теоремы механики. Открыв закон всемирного тяготения,
Н. назвал ту общую силу, к-рая служит первопричиной таких разнообразных явлений, как падение тел, вращение Луны
вокруг Земли и планет вокруг Солнца, движение комет, морские приливы и отливы и др. И в области небесной механики у
Н. были предшественники (Дж. Борелли, Р. Гук и др.), но ему удалось найти самую совершенную формулировку закона
всемирного тяготения. Он обосновал справедливость этого закона всеми известными в то время астр. фактами и вычислил на
его основе траектории тел, движущихся в разл. условиях в поле тяготения. Н. исследовал движение тел в среде,
оказывающей сопротивление. Сделал фундаментальные открытия в оптике, в частности выяснил причину рассеивания света;
показал, что белый свет раскладывается на цвета радуги вследствие разл. преломления лучей разных цветов при
прохождении через призму, и заложил основы правильной теории цветов. Эти иссл. привели Н. к изобретению первого
зеркального телескопа (1688). Н. исследовал также интерференцию света. Несмотря на то, что его опыты подтверждали
волновую теорию света, Н. решительно выступал против неё и отстаивал гипотезу вытекания, согласно к-рой источник света
выбрасывает мельчайшие материальные частицы – корпускулы. Эту теорию нек-рое время полностью отрицали, но теперь
она снова возрождается (в изменённой форме). В честь Н. названа единица силы в Междунар. системе единиц – ньютон.
Иностр. чл. Париж. АН (1699). Именем Н. названы кратер на видимой стороне Луны и кратер на Марсе.
РИМАН Георг Фридрих Бернхард (17.9.1826–20.7.1866) – немецкий математик. Род. в Брезеленце (Нижняя
Саксония). Ещё в гимназии увлекался работами выдающихся математиков Л. Эйлера и А. Лежандра. Учился в Гёттинген.
ун-те (1846–47). В 1847–49 учился в Берлин. ун-те, где слушал лекции П. Дирихле, К. Якоби, Я. Штейнера. Подружился с
Дирихле, что повлияло на формирование его науч. интересов. В 1849 возвратился в Гёттинген и сблизился с Г. Вебером. Под
его влиянием Р. начал интересоваться вопросами матем. изучения природы, однако пошёл своим путём и создал собственное
представление о мире. По Р., пространство наполнено непрерывной материей, на к-рую влияют сила тяжести, свет и
электричество. Он везде вводил понятие о распространении этих процессов во времени, искал связи между притяжением и
светом. В 1851 Р. защитил д-рскую диссертацию на тему "Основы общей теории функций одной комплексной переменной",
к-рая положила начало геом. направлению в развитии теории аналитических функций и широкому применению идей и
методов матем. физики, а также новой геом. науке – топологии. В 1854 представил в Гёттингенский ун-т две работы: "О
возможности представления функций с помощью тригонометрических рядов", оказавшую влияние на развитие теории
множеств и теории функций действительной переменной, и "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" – и был
зачислен приват-доцентом. Обе эти работы опубл. Ю.В. Дедекинд после смерти Р. (1868). В работе "О гипотезах, лежащих в
основаниях геометрии" Р. впервые после открытия Н.И. Лобачевского развил матем. учение о пространстве, ввёл понятие
дифференциала расстояния между элементами многообразия и развил учение о кривизне. Введение обобщённых римановых
пространств, частными случаями к-рых являются пространства Евклида и Лобачевского, и т.н. геометрии Р. открыло новые
пути в развитии геометрии. Осенью 1857 Р. стал экстраординарным проф. Гёттинген. ун-та, в 1859, после смерти П.
Дирихле, – ординарным проф.
Науч. интересы Р. были очень широкими. Он создал и успешно применил для решения разл. физических задач новые
методы интегрирования дифференциальных ур-ний с частными производными. Высказанная им гипотеза о распределении
нулей дзета-функции (гипотеза Р.) имела важно значение для развития аналитической теории чисел. В мемуаре "О
количестве простых чисел, не превышающих данной величины" (1859) Р. впервые распространил на комплексную область
дзета-функцию, установил ряд её свойств, показал тесную связь между распределением простых чисел и нек-рыми из этих
свойств, что дало возможность Ж. Адамару и Ла Валле Пуссену в 1896 строго обосновать асимптотический закон
распределения простых чисел. Этот мемуар сыграл важную роль в развитии теории функций комплексной переменной и
аналитической теории чисел. Р. ввёл строгое понятие определённого интеграла и доказал его существование. Работы Р.
оказали большое влияние па развитие математики в XIX и XX вв.
Особое значение имеют глубокая разработка теории конформных отображений и введение т.н. римановых
поверхностей, важных при иссл. многозначных аналитических функций. Конформные отображения в связи с вопросом о
черчении карт рассматривали Л. Эйлер, Ж. Лагранж, К. Гаусс задолго до Р. Но Р. первый чётко связал свойство функции
(
)
zf=ω
комплексной переменной
z
производить конформное преобразование области определения с наличием у этой

Страницы