Элементы матричного исчисления. Фомина Т.К - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

19
диагонали расположены нули. Транспонированная матрица
−
−
−
=
073
702
320
T
A , очевидно, что
A
A
T
−
=
.
Теорема 1. Любую квадратную матрицу
M
можно
представить в виде суммы симметрич-
ной
S
и антисимметричной
A
матриц.
Ø Доказательство.
Для доказательства достаточно найти формулы, по которым для лю-
бой матрицы
M
всегда можно вычислить соответствующие ей симметрич-
ную и антисимметричную части.
Представим матрицу
M
в виде суммы двух матриц
A
S
M
+
=
, (5)
что можно сделать всегда, и предположим, что
S
S
T
=
и
A
A
T
−
=
.
Транспонируем обе части равенства (5)
TTT
A
S
M
+
=
и воспользу-
емся предположенными свойствами матриц
S
и
A
, тогда получим:
A
S
M
T
−
=
. (6)
Последовательно складывая и вычитая равенства (5) и (6), получим
(
)
T
MMS +=
2
1
,
(
)
T
MMA −=
2
1
. (7)
Эти формулы дают возможность вычислить симметричную
S
и ан-
тисимметричную
A
части любой матрицы
M
.
v Теорема 1 доказана.
3.2. Комплексное сопряжение.
Если
[
]
n
mik
aA = , то комплексно сопряженная матрица
*
A
определяет-
ся равенством
[
]
n
mik
aA
**
= . Таким образом, операция комплексного сопря-
жения матрицы заключается в комплексном сопряжении всех ее элементов.

Страницы