Элементы матричного исчисления. Фомина Т.К - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

35
или
−
k
ого столбца:
∑
=
=
n
i
ikik
AaA
1
det . (18)
Ø Доказательство.
Заметим, что достаточно доказать формулу (17), так как при транс-
понировании строки заменяются на столбцы, а величина определителя не
изменяется. Заметим также, что любую строку определителя можно путем
последовательных перестановок поместить на место первой строки, при
этом определитель может лишь изменить знак. Таким образом, для доказа-
тельства достаточно рассмотреть случай разложения определителя по эле-
ментам его 1-ой строки.
Итак, запишем общую формулу-определение для
A
det
=
∆
:
∑ ∑∑
ε=ε=∆
1 2
21321
21
21321
...
21...
...
21...
......
i ii
niiiiiii
iii
niiiiiii
n
nn
n
nn
aaaaaa . (19)
Вынесем в этой сумме все слагаемые, содержащие множители
1
1i
a (т.е. элементы первой строки
11
a ,
12
a , …
n
a
1
), за скобки:
4444 34444 214444 34444 21
2
32
3232
1
32
3232
...
32...212
...
32...111
......
S
iii
niiiiii
S
iii
niiiiii
n
nn
n
nn
aaaaaaaa
∑
∑
ε+ε=∆
4444 34444 214444 34444 21
n
n
nn
n
nn
S
iii
niiiiinin
S
iii
niiiiii
aaaaaaaa
∑
∑
ε++ε+
...
32...1
...
32...313
32
3232
3
32
3232
......... . (20)
Очевидно, в суммах
1
S ,
2
S ,
3
S …
n
S содержатся произведения эле-
ментов матрицы
A
только из строк 2, 3, …
n
.
Рассмотрим сумму
1
S . В силу антисимметричности тензора
n
iii ...1
32
ε
в
ней будут присутствовать произведения только тех элементов матрицы
A
,

Страницы