Элементы матричного исчисления. Фомина Т.К - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

36
у которых второй индекс 1
2
≠
i , 1
3
≠
i , … 1
≠
n
i , т.е. только элементов из
столбцов 2, 3, …
n
. Единичный антисимметричный тензор
n
iii ...1
32
ε
ранга
n
обладает свойствами: 1
...231
+
=
ε
n
, а все остальные ненулевые значения по-
лучаются путем последовательных перестановок индексов
n
iii ...,
32
с из-
менением знака. Таким образом, он эквивалентен единичному антисим-
метричному тензору
n
iii ...
32
ε
ранга
1
−
n
. Следовательно, сумма
1
S пре д-
ставляет собой определитель, а именно, минор
11
M или алгебраическое
дополнение элемента
11
a матрицы
A
:
111
AS
=
.
Обратимся к сумме
2
S . Рассуждения, аналогичные предыдущему
случаю, показывают, что в эту сумму входят произведения всех элементов
матрицы
A
, за исключением элементов первой строки и второго столбца,
т.е.
122
~ MS . Так как "начальное" значение единичного антисимметрично-
го тензора
n
iii ...2
32
ε
ранга
n
равно 1
...123...132
−
=
ε
−
=
ε
nn
, то он эквивалентен
единичному антисимметричному тензору
(
)
n
iii ...
32
ε
−
ранга
1
−
n
. Следова-
тельно, сумма
2
S представляет собой алгебраическое дополнение элемента
12
a матрицы
A
:
(
)
12
21
122
1 MAS
+
−== .
Повторяя эти рассуждения к суммам
3
S , …
n
S , с учетом соотноше-
ний 1
...1234...1243
+
=
ε
=
ε
nn
, …
1
)1(...123
1
)1(...123
)1()1(
+
−
−
−
−=ε−=ε
n
nn
n
nn
придем
к выводу, что
(
)
13
31
133
1 MAS
+
−== , …
(
)
n
n
n
MAS
1
1
13
1
+
−== .
v Теорема 3 доказана.
Для уменьшения объема вычислений по формулам (17), (18) следует
выбирать строку (столбец), в которой (в котором) имеется максимальное
число нулевых элементов.

Страницы