Элементы матричного исчисления. Фомина Т.К - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

46
Следующая теорема обобщает формулу (37), определяющую обрат-
ную матрицу, на случай матриц порядка
n
.
Теорема 4. Любая невырожденная матрица
[
]
n
n
ik
aA =
имеет обратную матрицу
[
]
n
n
ik
aA
)1(1 −−
= ,
элементы которой вычисляются по
правилу:
kiik
Aa
∆
=
−
1
)1(
. (38)
где
∆
– определитель, а
ki
A – алгебраи-
ческое дополнение элемента
ki
a матр и-
цы
A
.
Ø Доказательство.
Прежде всего, обратим внимание на то, что согласно формуле (38) и
Определению 17 обратная матрица
1−
A
равна ассоциированной матрице
A
, деленной на определитель
A
det
=
∆
исходной матрицы:
∆
=
∆
=
−
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AA
...
............
...
...
11
21
22212
12111
1
. (39)
Мы докажем, что матрица
1−
A
, задаваемая формулой (39), является
обратной для матрицы
A
, если докажем тождество
A
A
=
⋅
−1
, (40)
где
[
]
n
n
ik
E δ=
– единичная матрица. С учетом (39) достаточно доказать, что
Λ
=
∆
=
⋅
E
A
A
, (41)
где
[
]
n
n
ik
λ=Λ
– диагональная матрица, элементы которой имеют вид
ik
δ
∆
=
λ
ik
. (42)

Страницы