ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
67
Из (67) и (69) следует, что матрица этого преобразования
U
пре д-
ставляет собой произведение матриц элементарных преобразований, каж-
дая из которых является нижней треугольной матрицей. Таким образом,
согласно Теореме 5 матрица
U
является нижней треугольной матрицей.
Так как
0
det
≠
U
, мы можем обратить уравнение (67)
G
U
A
⋅
=
−1
. (76)
Здесь матрица
G
– верхняя треугольная матрица, а матрица
1−
U
в соответ-
ствии с Теоремой 7 является нижней треугольной матрицей.
Таким образом, мы доказали теорему о разложении квадратной мат-
рицы на треугольные множители:
Теорема 8. Любую квадратную матрицу
A
, у кото-
рой все главные миноры отличны от
нуля, можно представить в виде произ-
ведения нижней треугольной
L
и верх-
ней треугольной
U
матриц:
U
L
A
⋅
=
. (77)
Матрица
A
в левой части (77) имеет
2
n
элементов. В правой части
(77) находится произведение двух треугольных матриц, каждая из которых
имеет
2
/
)
1
(
+
n
n
элементов. Таким образом, равенство (77) "переопределе-
но": количество параметров справа на
n
больше, чем слева. Это дает воз-
можность в одной из треугольных матриц положить диагональные элемен-
ты равными, например, единице. В частности, можно считать, что в разло-
жении (77) треугольные множители имеют вид:
=
1...
0.........
0...1
0...01
21
21
nn
ll
l
L
, (78)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
