Элементы матричного исчисления. Фомина Т.К - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

75
Из условия 2) Определения 19 следует, что для ортогональных мат-
риц справедливы тождества:
E
O
O
O
O
TT
=
⋅
=
⋅
. (87)
Следующая теорема определяет особую роль ортогональных матриц
при преобразовании векторов евклидового пространства.
Теорема 9. Ортогональные матрицы сохраняют
норму векторов.
Другими словами, длины вектора
V
и
вектора, получаемого из него в резуль-
тате действия ортогональной матри-
цы
O
, совпадают:
VVO =⋅ . (88)
Ø Доказательство.
Пусть
O
– ортогональная матрица, а вектор
V
′
– результат ее дейст-
вия на вектор
V
:
V
O
V
⋅
=
′
.
Квадрат нормы вектора преобразованного вектора
V
′
равен
VVV
T
′
⋅
′
=
′
2
.
Подставим сюда выражение для
V
′
:
(
)
(
)
VOVOV
T
⋅⋅⋅=
′
2
и воспользуемся Свойством 4 операции транспонирования
(
)
TT
T
OVVO ⋅=⋅ .
В результате, с учетом соотношений (87) получим:
22
VVVVEVVOOVV
TTTT
=⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=
′
.
v Теорема 9 доказана.

Страницы