ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
82
Следующая теорема определяет особую роль унитарных матриц при
преобразовании векторов комплексного евклидового пространства.
Теорема 10. Унитарные матрицы сохраняют норму
векторов.
Другими словами, длины вектора
V
и
вектора, получаемого из него в резуль-
тате действия унитарной матрицы
U
,
совпадают:
VVU =⋅ . (109)
Ø Доказательство.
Пусть
U
– ортогональная матрица, а вектор
V
′
– результат ее дейст-
вия на вектор
V
:
V
U
V
⋅
=
′
.
Квадрат нормы вектора преобразованного вектора
V
′
равен
VVV
′
⋅
′
=
′
+
2
.
Подставим сюда выражение для
V
′
:
(
)
(
)
VUVUV ⋅⋅⋅=
′
+
2
и воспользуемся Свойством 4 операции эрмитового сопряжения
(
)
++
+
⋅=⋅ UVVU .
В результате, с учетом соотношений (87) получим:
22
VVVVEVVUUVV =⋅=⋅⋅=⋅⋅⋅=
′
++++
.
v Теорема 10 доказана.
По аналогии с ортогональными матрицами, унитарные матрицы
[
]
n
n
ik
uU =
– это матрицы вращения
−
n
мерного комплексного простран-
ства
n
V .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 82
- 83
- 84
- 85
- 86
- …
- следующая ›
- последняя »
