Элементы векторного исчисления. Фомина Т.К - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

10
Теорема 1. Каждый вектор
!
vV
n
∈ может быть разложен по базису
пространства V
n
.
Доказательство. Пусть
{}
!
a
k
— базис V
n
, а
!
v — произвольный вектор из V
n
. По
определению V
n
совоку пность из ()n + 1 векторов
!! ! !
va a a
n
, , , ...
12
линейно зависима:
ββ β β
01122
0
!! ! !
!
va a a
nn
++++ =... ,
где по крайней мере одно из чисел β
k
отлично от нуля. Очевидно, β
0
0≠ , иначе век-
торы базиса
{}
!
a
k
оказались бы линейно зависимыми. Поэтому
!! ! !
vva va va
nn
=+++
11 22
... , (2)
где v
k
k
=−
β
β
0
( , , ... )kn= 12 .
Теорема доказана. Формула (2) представляет собой разложение вектора
!
v по ба-
зису
{}
!
a
k
. Коэффициенты v
k
этого разложения называются координатами вектора
!
v
в базисе
{}
!
a
k
.
Заметим, что разложение данного вектора по данному базису единственно. В
самом деле, если имеется другое разложение
!! ! !
vva va va
nn
=
′
+
′
++
′
11 22
... , (3)
то, вычитая (3) из (2), получим
( ) ( ) ... ( )vva vva vva
nnn111 222
0−
′
+−
′
++ −
′
=
!! !
!
.
В силу линейной независимости векторов базиса все коэффициенты в левой части
должны равняться нулю:
vv vv vv
nn11 22
00 0−
′
=−
′
=−
′
=, , ... ,
или
′
=
′
=
′
=vvvv vv
nn1122
, , ... ,
т.е. разложение (3) совпадает с разложением (2).
Если
{}
!
a
k
— базис, и

Страницы