Элементы векторного исчисления. Фомина Т.К - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

16
Метрическое векторное пространство
В предыдущих разделах мы обсудили общие свойства векторного пространства
n
V . При
3
=
n
это пространство похоже на обычное трехмерное пространство, но не
совсем, т.к. в нем не определены так называемые метрические свойства — расстояние
(длина) и углы. Чтобы определить эти свойства, нужно ввести еще одну операцию над
векторами — скалярное произведение.
Определение и основные свойства
Определение 7. Векторное пространство
n
V называется метрическим или
нормированным, если для любой пары векторов
n
Vwv ∈
!!
, опре-
делено их скалярное произведение
()
wv
!!
, , со следующими свой-
ствами:
а)
()
ℜ∈wv
!!
, — скалярное произведение является действительным числом;
б)
()()
vwwv
!!!!
,, = — скалярное произведение симметрично относительно переста-
новки сомножителей;
в)
()()
ℜ∈=
ααα
,,, wvwv
!!!!
— числовой множитель выносится за знак скалярного
произведения;
г)
()()()
wuvuwvu
!!!!!!!
,,, +=+ — дистрибутивность ;
д)
()
0,
2
≥= vvv
!!!
,
0
2
=v
!
только, если 0
!
!
=v , — положительная определенность квадрата нормы
2
v
!
вектора
!
v (иногда говорят просто "квад-
рат вектора"). Норма вектора определяется как
положительное значение квадратного корня
из квадрата нормы
()
vvv
$
!!
,= .
Из свойств б), в) и г) следуют "симметричные" свойства:
в′)
()()
ℜ∈=
ααα
,,, wvwv
!!!!
;
г′)
()()()
wvwuwvu
!!!!!!!
,,, +=+ .
Очевидно также, что

Страницы