Элементы векторного исчисления. Фомина Т.К - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18
(
)
0, =
ji
aa
!!
(8)
при ij≠ , ij m, , , ...= 12 .
Допустим, что векторы системы
{}
k
a
!
линейно зависимы, т.е. что существуют не-
равные одновременно нулю числа α
k
такие, что
αα α
11 22
0
!! !
!
aa a
mm
+++ =... . (9)
Умножим скалярно обе части равенства (9) на первый вектор
!
a
1
, тогда, в силу (8) в ле-
вой части останется только первое слагаемое
()
()
α
11 1 1
00
!! !
!
aa a,,==.
Так как вектор
!
a
1
ненулевой, то отсюда следует, что коэффициент α
1
0= .
Аналогично, путем последовательного умножения (9) на векторы
!!
aa
m2
, ... по-
лучим, что и все остальные коэффициенты равны нулю: αα
2
00==, ...
m
.
Таким образом, допущение о линейной зависимости ортогональной системы
векторов
{}
k
a
!
неверно, и теорема доказана.
Использование ортогональных систем векторов упрощает решение многих за-
дач, связанных с волновыми процессами, и, в частности, задач квантовой механики.
Поэтому возникает необходимость ортогонализации — перехода от некоторой произ-
вольной системы линейно независимых векторов к эквивалентной ортогональной сис-
теме. Эквивалентность понимается в том смысле, что ортогональная система строится
из векторов исходной системы.
Рассмотрим процесс ортогонализации на примере системы двух векторов.
Теорема 3. Систему двух линейно независимых не ортогональных векто-
ров
!
a и
!
b
заменить эквивалентной ортогональной системой
двух векторов.
Доказательство
. Пусть
!
a и
!
b — линейно независимы и не ортогональны, т.е.
αβ
!
!!
ab+=0 только при α
β
==0, и
()
!
!
ab, ≠ 0.
Рассмотрим вектор
!
c, представленный в виде линейной комбинации векторов
!
a и
!
b :
bac
$
!!
βα
+= . (10)

Страницы