Элементы векторного исчисления. Фомина Т.К - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

20
()
()
=
′
−=
′
⇒
=
′
−=
′
ββ
βαα
γ
β
β
γ
β
αα
2
2
,
,
a
ba
a
ba
!
!
!
!
!
!
. (16)
Следствие. Любой базис
{}
!
a
k
можно ортогонализовать, т.е. преобразовать в эк-
вивалентный ортогональный базис
{}
!
′
a
k
:
()
!!
aa
ij
, = 0 при ij≠ .
Определение 12. Ортогональный базис
{}
!
e
k
называется ортонормированным,
если
()
!!
ee
ij ij
, =δ (символ Кронекера δ
ij
= 0 при ij≠ и
δ
ij
= 1 при ij= ). Векторы этого базиса
!
e
k
,
!
e
k
= 1, назы-
ваются ортами.
Любой ненулевой вектор может быть нормирован, для чего достаточно разде-
лить его на собственную норму:
!!
!
!
!
!
!
!
!
vv
v
v
v
v
v
v
v
→= = = =
00
1, .
Теорема 3. Коэффициенты разложения вектора
!
v по ортонормирован-
ному базису
{}
!
e
k
пространства V
n
являются проекциями
этого вектора на соответствующие орты базиса.
Доказательство. Разложение
!
v по базису
{}
!
e
k
имеет вид:
!!
vve
kk
k
n
=
=
∑
1
. (17)
Умножим скалярно обе части равенства (17) на один из ортов базиса, например,
на
!
e
i
:
() ( )() ()
!! ! ! !! !!
ve v e e ve v v ve
ikki
k
n
ikkii
k
n
i
,,, ,=⇒=⇒=
==
∑∑
11
δ .
Теорема доказана, т.к. по Определению 8
()
()
!!
!!
!
ve
ve
e
i
i
i
,
,
= есть проекция вектора
!
v на орт
!
e
i
.

Страницы