Элементы векторного исчисления. Фомина Т.К - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РУДН | Москва

Составители: 

Рубрика: 

21
Вычисление скалярного произведения
Обратив Определение 9, данное в предыдущем разделе, получим известное
"геометрическое" правило вычисления скалярного произведения:
()
ϕ
cos, ⋅⋅= wvwv
!!!!
. (18)
Однако для применения правила "скалярное произведение равно произведению "длин"
векторов на косинус угла между ними" нужно знать или уметь вычислять "длины" век-
торов и угол между ними.
Получим другое, не геометрическое правило вычисления скалярного произведе-
ния. Пусть
{}
!
e
k
— ортонормированный базис. Разложим по нему векторы
!
v и
!
w :
!!
vve
kk
k
n
=
=
∑
1
,
!!
wwe
kk
k
n
=
=
∑
1
. (19)
Здесь
()
vve
kk
=
!!
, и
()
wwe
kk
=
!
!
, — проекции векторов
!
v и
!
w на орты базиса
{}
!
e
k
.
Подставим эти выражения в формулу скалярного произведения (индекс
k
, по которому
выполняется суммирование в (19), можно обозначить любой другой буквой):
()
!! ! !
vw ve we
ii
i
n
jj
j
n
,,=
==
∑∑
11
. (20)
Так как скалярное произведение суммы векторов равно сумме скалярных произ-
ведений, то
()
()
!! !!
vw vw ee vw
ij
j
n
i
n
ij i j
j
n
i
n
ij
, ==
====
∑∑∑∑
1111
δ .
Воспользовавшись свойствами символа Кронекера, получим окончательную формулу
()
!!
vw vw
ii
i
n
, =
=
∑
1
, (21)
определяющую правило:
Скалярное произведение векторов равно сумме произведений проекций этих
векторов на соответствующие орты базиса (или сумме произведений соответствую-
щих координат векторов).
Из (21) сразу же следует формула для вычисления длины (нормы) вектора:

Страницы