Курс лекции по макроэкономике. Фридман А.А. - 149 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

149
В нашем случае ковариация рассматриваемых активов равна нулю, поскольку один
из активов является безрисковым активом. Учитывая, что
0)x(Var
2
MM
=σ= ,
2
AA
)x(Var σ= и 0)x,x(Cov
AM
= , соотношение (7) примет вид:
2
A
22
p
)1( σα−=σ
.
Таким образом, мы получили, что ожидаемая доходность и риск портфеля
равны:
(8)
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
σα−=σ
α−+α=
Ap
AMp
)1(
r)1(rr
.
Преобразуя систему (8) получаем:
(9)
p
A
MA
Mp
)rr(
rr σ
σ
−
+=
.
Множество портфелей, удовлетворяющих условию (9) – это прямая, выходящая из
точки
)r,0()r,(
Mpp
=σ
под углом
A
MA
rr
σ
−
. Учитывая, что α лежит между нулем и
единицей, мы получаем отрезок [AB], соответствующий границе допустимого
множества портфелей (смотри рисунок 4).
AMA
/)rr(
σ
−
p
r
σ
p
σ
А
A
r
B
)0(
=
α
A
)1( =α
Рис. 4. Множество допустимых портфелей, состоящих из комбинации
безрискового актива с нулевой ожидаемой доходностью и рискового актива.
Наложив на этот же график кривые безразличия, мы можем
проиллюстрировать выбор оптимального портфеля (смотри рисунок 5). Итак,
оптимум достигается в точке касания кривой безразличия с границей множества
допустимых портфелей. Как мы видим, в оптимальной точке
α строго больше нуля, 
В нашем случае ковариация рассматриваемых активов равна нулю, поскольку один
из активов является безрисковым активом. Учитывая, что Var( x M ) = σ 2M = 0 ,

 Var( x A ) = σ 2A и Cov( x M , x A ) = 0 , соотношение (7) примет вид: σ 2p = ( 1 − α ) 2 σ 2A .

         Таким образом, мы получили, что ожидаемая доходность и риск портфеля
равны:
                 ⎧⎪rp = αrM + ( 1 − α )rA
         (8)      ⎨                       .
                  ⎪⎩σ p = ( 1 − α )σ A

Преобразуя систему (8) получаем:
                                       ( rA − rM )
         (9)               rp = rM +               σp.
                                           σA
Множество портфелей, удовлетворяющих условию (9) – это прямая, выходящая из
                                             rA − rM
точки ( σ p , rp ) = ( 0 , rM ) под углом            . Учитывая, что α лежит между нулем и
                                               σA

единицей, мы получаем отрезок [AB], соответствующий границе допустимого
множества портфелей (смотри рисунок 4).

                           rp


                             rA                          B (α = 0)


                                            ( rA − rM ) / σ A

                            A                                   σp
                     ( α = 1)                         σА

         Рис. 4. Множество допустимых портфелей, состоящих из комбинации
безрискового актива с нулевой ожидаемой доходностью и рискового актива.


         Наложив      на        этот   же     график       кривые    безразличия,    мы     можем
проиллюстрировать выбор оптимального портфеля (смотри рисунок 5). Итак,
оптимум достигается в точке касания кривой безразличия с границей множества
допустимых портфелей. Как мы видим, в оптимальной точке α строго больше нуля,


                                                                                                    149

Страницы