Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

36
Ïî âèäó ðåøåíèÿ (1.29) ìîæíî ñäåëàòü ðÿä ïîëåçíûõ âûâîäîâ. Âî-
ïåðâûõ, âèäíî, ÷òî ïðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåëåÿ (à ïðè ïðè-
íÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëàì Ðåëåÿ ñîîòâåòñòâóåò íàãðåâ
ñëîÿ ñíèçó) ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå âñåãäà ïîëîæèòåëüíî. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî îáà êîðíÿ óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âåùåñòâåííûìè âåëè÷èíàìè è, ñëåäîâà-
òåëüíî, âîçìóùåíèÿ ýâîëþöèîíèðóþò ìîíîòîííûì îáðàçîì. Ïðè ýòîì
îäèí êîðåíü âñåãäà ïîëîæèòåëåí, à
âòîðîé ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè
c
RR = ìåíÿåò çíàê.
Âî-âòîðûõ, ïðè îòðèöàòåëüíûõ
÷èñëàõ Ðåëåÿ (ïîäîãðåâ ñâåðõó) âåùå-
ñòâåííàÿ ÷àñòü îáîèõ êîðíåé âñåãäà
ïîëîæèòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå
âîçìóùåíèÿ ïðè ïîäîãðåâå ñâåðõó çà-
òóõàþò. Â òî æå âðåìÿ ñ ðîñòîì âåëè-
÷èíû ïîäîãðåâà âîçíèêàåò ñèòóàöèÿ,
êîãäà âûðàæåíèå ïîä êîðíåì ñòàíî-
âèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, òî åñòü ïîÿâ-
ëÿåòñÿ äâà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíÿ, îïèñûâàþùèõ çàòóõàþùèå, íî
êîëåáàòåëüíûå ðåæèìû. Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè
2
23224
*
4
)1()(
a
an
R
s
sp -+
= .
Íà ðèñ.1.12 ïîêàçàí ãðàôèê çàâèñèìîñòè âåùåñòâåííîé ÷àñòè äåêðåìåíòà
çàòóõàíèÿ îò ÷èñëà Ðåëåÿ. Íà ãðàôèêå îòìå÷åíû òðè îáëàñòè: I - îáëàñòü çà-
òóõàþùèõ êîëåáàòåëüíûõ âîçìóùåíèé, II - îáëàñòü ìîíîòîííî çàòóõàþùèõ
âîçìóùåíèé è III - îáëàñòü ìîíîòîííî íàðàñòàþùèõ âîçìóùåíèé.
Íàéäåì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåëåÿ, ïðè äîñòèæåíèè êîòîðîãî
íà÷èíàåòñÿ íàðàñòàíèå âîçìóùåíèé. Èç
óñëîâèÿ 0
=
l
ïîëó÷àåì
2
3224
)(
a
na
R
c
+
=
p
.
Òàê êàê òðåáóåòñÿ íàéòè ñàìûå îïàñíûå
âîçìóùåíèÿ, òî íóæíî îïðåäåëèòü ñîîò-
âåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ
a
è
n
. Äèôôå-
ðåíöèðîâàíèå ïî
a
äàåò
0)2()(
2
22222
3
4
=-+=
nana
a
a
R p
è
Ðèñ.
1.12.
Ðèñ.
1.13.
36



     Ï î âèäó ðåø åíèÿ (1.29) ìîæíî ñäåëàòü ðÿä ïîëåçíûõ âûâîäîâ. Âî-
ïåðâûõ, âèäíî, ÷òî ïðè ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ÷èñëà Ðåëåÿ (à ïðè ïðè-
íÿòûõ îáîçíà÷åíèÿõ ïîëîæèòåëüíûì ÷èñëàì Ðåëåÿ ñîîòâåòñòâóåò íàãðåâ
ñëîÿ ñíèçó) ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå âñåãäà ïîëîæèòåëüíî. Ýòî îçíà÷àåò,
÷òî îáà êîðíÿ óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ âåù åñòâåííûìè âåëè÷èíàìè è, ñëåäîâà-
òåëüíî, âîçìóù åíèÿ ýâîëþ öèîíèðóþ ò ìîíîòîííûì îáðàçîì. Ï ðè ýòîì
                                   îäèí êîðåíü âñåãäà ïîëîæèòåëåí, à
                                   âòîðîé ïðè íåêîòîðîì çíà÷åíèè
                                   R = Rc ìåíÿåò çíàê.
                                         Âî-âòîðûõ, ïðè îòðèöàòåëüíûõ
                                   ÷èñëàõ Ðåëåÿ (ïîäîãðåâ ñâåðõó) âåù å-
                                   ñòâåííàÿ ÷àñòü îáîèõ êîðíåé âñåãäà
                                   ïîëîæèòåëüíà. Ñëåäîâàòåëüíî, âñå
                                   âîçìóù åíèÿ ïðè ïîäîãðåâå ñâåðõó çà-
                                   òóõàþò. Â òî æå âðåìÿ ñ ðîñòîì âåëè-
                                   ÷èíû ïîäîãðåâà âîçíèêàåò ñèòóàöèÿ,
                                   êîãäà âûðàæåíèå ïîä êîðíåì ñòàíî-
             Ðèñ. 1.12.
                                   âèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, òî åñòü ïîÿâ-
ëÿåòñÿ äâà êîìïëåêñíî-ñîïðÿæåííûõ êîðíÿ, îïèñûâàþ ù èõ çàòóõàþ ù èå, íî
êîëåáàòåëüíûå ðåæèìû. Ýòî ïðîèñõîäèò ïðè

                                                p 4 (n 2 + a 2 ) 3 (1 - s ) 2
                                            R =
                                              *
                                                                              .
                                                          4sa 2

Í à ðèñ.1.12 ïîêàçàí ãðàôèê çàâèñèìîñòè âåù åñòâåííîé ÷àñòè äåêðåìåíòà
çàòóõàíèÿ îò ÷èñëà Ðåëåÿ. Í à ãðàôèêå îòìå÷åíû òðè îáëàñòè: I - îáëàñòü çà-
òóõàþ ù èõ êîëåáàòåëüíûõ âîçìóù åíèé, II - îáëàñòü ìîíîòîííî çàòóõàþ ù èõ
âîçìóù åíèé è III - îáëàñòü ìîíîòîííî íàðàñòàþ ù èõ âîçìóù åíèé.
     Í àéäåì êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ÷èñëà Ðåëåÿ, ïðè äîñòèæåíèè êîòîðîãî
íà÷èíàåòñÿ íàðàñòàíèå âîçìóù åíèé. È ç
óñëîâèÿ l = 0 ïîëó÷àåì

                     p 4 (a 2 + n 2 ) 3
              Rc =                      .
                            a2

Òàê êàê òðåáóåòñÿ íàéòè ñàìûå îïàñíûå
âîçìóù åíèÿ, òî íóæíî îïðåäåëèòü ñîîò-
âåòñòâóþ ù èå çíà÷åíèÿ a è n . Äèôôå-
ðåíöèðîâàíèåïî a äàåò

      ¶R 2p 4 2
         = 3 ( a + n 2 ) 2 ( 2a 2 - n 2 ) = 0                                     Ðèñ. 1.13.
      ¶a   a
è

Страницы