Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 39 стр.

                                                                                     39



Äàëüíåéø èé ïóòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ôóíêöèÿ òîêà è òåìïåðàòóðà ðàñêëà-
äûâàþòñÿ â äâîéíûå ðÿäû Ô óðüåñçàâèñÿù èìè îò âðåìåíè êîýôôèöèåíòà-
ìè

                                                          æpmx ö æpnz ö
                         y ( x, z , t ) = å y    (t ) sin ç
                                                nm             ÷sin ç  ÷,
                                                          è h ø è h ø
                                                           æpmx ö æpnz ö
                          q ( x, z , t ) = å q nm (t ) cosç     ÷sin ç  ÷.
                                                           è h ø è h ø

Ï îäñòàâëÿÿ ýòè ðàçëîæåíèÿ â óðàâíåíèÿ è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè
îäèíàêîâûõ ôóíêöèÿõ îò x è z , ïîëó÷àþò ñèñòåìó îáûêíîâåííûõ äèôôå-
ðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîýôôèöèåíòîâ y nm (t ) è q nm (t ) . Îòëè÷èòåëüíîé
îñîáåííîñòüþ ìîäåëè Ëîðåíöà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî â ðàçëîæåíèÿõ îñòàâëåíî
ìèíèìàëüíîå ÷èñëî ÷ëåíîâ, ñîõðàíÿþ ù èõ íåëèíåéíîñòü ñèñòåìû, à èìåí-
íî, îäèí ÷ëåí èç ðÿäà äëÿ ôóíêöèè òîêà è äâà - äëÿ òåìïåðàòóðû. Ýòîò âû-
áîð áûë îáóñëîâëåí ðåçóëüòàòàìè ÷èñëåííûõ èññëåäîâàíèé êîíå÷íîìåð-
íûõ ñèñòåì, ïðîâåäåííûõ Ñîëüöìåíîì (Saltzman B. Finite amplitude free
convection as an initial value problem, Journal of Atmospheric Sciences, 1962,
V.19, P.329-341.), â êîòîðûõ áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ çíà÷åíèÿõ
ïàðàìåòðîâ ñèñòåìû äåéñòâèòåëüíî âîçíèêàþò ðåæèìû, ïðè êîòîðûõ âñå
îñòàëüíûå ïåðåìåííûå ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ , à ïîâåäåíèå òðåõ îñòàâø èõñÿ õà-
ðàêòåðèçóåòñÿíåðåãóëÿðíûìè íåïåðèîäè÷åñêèìè êîëåáàíèÿìè.
         Ì û, ñëåäóÿ Ëîðåíöó, ñðàçó îñòàâèì â ðàçëîæåíèÿõ òîëüêî ýòè òðè
÷ëåíà, îáîçíà÷èâ àìïëèòóäû ñîîòâåòñòâóþ ù èõ ìîä êàê X , Y è Z . Îòìåòèì,
÷òî ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ íå ñîâñåì îáû÷íûé ñïîñîá îáåçðàçìåðèâàíèÿ, â
òîì ñìûñëå, ÷òî â åäèíèöû èçìåðåíèé âõîäÿò êðèòè÷åñêèå ïàðàìåòðû. Çà
åäèíèöû èçìåðåíèÿ ïðèíÿòû âåëè÷èíû: äëèíû - h , âðåìåíè -
t = h 2 /(p 2 (1 + a 2 ) c ) , ôóíêöèè òîêà - h 2 / t , òåìïåðàòóðû - DT . Ââîäèòñÿ îáî-
çíà÷åíèå b = 4 /(1 + a 2 ) è íîðìèðîâàííîå ÷èñëî Ðåëåÿ
                                        R   gb DT h 3 a 2
                                   r=     =                    .
                                        Rc cn p 4 (1 + a 2 ) 3

Áåçðàçìåðíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèìåò âèä

                       ¶                   sb          4sr ¶q
                          Dy + {y , Dy }=       DDy +          ,                 (1.33)
                       ¶t                 4p 2
                                                       ba 2 ¶x
                         ¶q            ¶y
                             + {y ,q}=
                                               b
                                          +       Dq .                           (1.34)
                          ¶t           ¶x 4p 2

 ýòè óðàâíåíèÿ ïîäñòàâëÿþ òñÿ ðàçëîæåíèÿ äëÿ ôóíêöèè òîêà è äëÿ òåìïå-
ðàòóðû â âèäå