Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

40
[
]
)2sin()()sin()cos(2)(
1
)sin()sin(
2
)(
2
ztZzaxtY
r
zax
a
tX
ppp
p
q
pp
p
y
-=
=
 óðàâíåíèè (1.33) ñêîáêè Ïóàññîíà ðàâíû íóëþ è ïðîñòûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ (ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îáîçíà÷àåì òî÷êàìè)
)( XYX -= s
&
Óðàâíåíèå (1.34) äàåò
[
]
[ ]
).2sin()sin()cos(
2
)sin()cos(
2
)sin()sin(2)cos()sin(
2
)2cos(2)cos()cos(2)sin()cos(
2
)2sin()sin()cos(2
1
zZ
r
b
zax
r
YzaxX
zaxYzax
r
X
zZzaxYzax
r
X
zZzaxY
r
p
p
pp
p
pp
p
pppp
p
ppppp
p
ppp
p
+-
=
+-
+-
&&
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàùèõ ïðîèçâåäåíèå
XY
, äàåò
[
]
)2sin()(
1
zrXY pp
-
ìîæíî óïðîñòèòü óðàâíåíèå
[
]
[ ]
).2sin(
2
1
)2cos()sin()cos(2)sin()cos(
zbZXYZ
zzaxXZzaxYrXY
p
ppppp
+-
=-+-
&
&
Ýòî óðàâíåíèå ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî óìíîæå-
íèÿ íà )sin( z
p
è íà )2sin( z
p
è èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êîîðäèíàòå
z
. Òàêèì îáðà-
çîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóä òðåõ âûáðàííûõ ìîä âûãëÿäèò ñëå-
äóþùèì îáðàçîì
bZ
XY
Z
YrXXZY
XYX
-+-=
-=
&
&
&
)(s
(1.35)
Íàïîìíèì, ÷òî ñèñòåìà (1.35) èìååò îòíîøåíèå ê ðåàëüíûì êîíâåêòèâíûì
äâèæåíèÿì òîëüêî ïðè íåáîëüøèõ íàäêðèòè÷íîñòÿõ (îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî
Ðåëåÿ íå íàìíîãî ïðåâîñõîäèò åäèíèöó). Íåñìîòðÿ íà ýòî, ïîâåäåíèå ýòîé
ñèñòåìû îêàçàëîñü èíòåðåñíûì ñàìî ïî ñåáå è ìíîãî÷èñëåííûå ÷èñëåííûå
èññëåäîâàíèÿ åå ñâîéñòâ ïðîâîäèëèñü â î÷åíü øèðîêîì äèàïàçîíå ïàðà-
ìåòðà
r
.  âû÷èñëåíèÿõ îáû÷íî èñïîëüçóþò ÷èñëî Ïðàíäòëÿ 10
=
s
, à ïà-
40



                                     2
                      y = X (t )       sin(pax) sin(pz )
                                   p a
                                    2



                      q=
                            1
                           pr
                              [
                              Y (t ) 2 cos(pax) sin(pz ) - Z (t ) sin( 2pz )   ]
 óðàâíåíèè (1.33) ñêîáêè Ï óàññîíà ðàâíû íóëþ è ïðîñòûå ïðåîáðàçîâàíèÿ
ïðèâîäÿò ê óðàâíåíèþ (ïðîèçâîäíûå ïî âðåìåíè îáîçíà÷àåì òî÷êàìè)

                                          X& = s (Y - X )
Óðàâíåíèå (1.34) äàåò

                 [
               1 &
              pr
                  Y 2 cos(pax) sin(pz ) - Z&sin( 2pz ) +]
              X
                   2
                 p r
                                        [
                     cos(pax) sin(pz ) Y 2 cos(pax) cos(pz ) - 2Z cos(2pz ) +      ]
                   2
              X      sin(pax) cos(pz )Y 2 sin(pax) sin(pz ) =
                 p r
                   2                        2                     b
              X      cos(pax) sin(pz ) - Y    cos(pax) sin(pz ) +    Z sin( 2pz ).
                 p                         pr                     pr

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ñóììà ñëàãàåìûõ, ñîäåðæàù èõ ïðîèçâåäåíèå XY , äàåò
[XY (pr ) - 1 sin(2pz)]ìîæíî óïðîñòèòü óðàâíåíèå
              [Y& - rX + Y ]cos(pax) sin(pz) - 2 XZ cos(pax) sin(pz) cos(2pz) =
                1 &
                    [Z - XY + bZ ]sin(2pz).
                2

      Ýòî óðàâíåíèå ðàçäåëÿåòñÿ íà äâà ïóòåì ïîñëåäîâàòåëüíîãî óìíîæå-
íèÿ íà sin(pz ) è íà sin(2pz ) è èíòåãðèðîâàíèÿ ïî êîîðäèíàòå z . Òàêèì îáðà-
çîì, ñèñòåìà óðàâíåíèé äëÿ àìïëèòóä òðåõ âûáðàííûõ ìîä âûãëÿäèò ñëå-
äóþ ù èì îáðàçîì
                                         X& = s (Y - X )
                                        Y& = - XZ + rX - Y                             (1.35)
                                        Z& = XY - bZ

Í àïîìíèì, ÷òî ñèñòåìà (1.35) èìååò îòíîø åíèå ê ðåàëüíûì êîíâåêòèâíûì
äâèæåíèÿì òîëüêî ïðè íåáîëüø èõ íàäêðèòè÷íîñòÿõ (îòíîñèòåëüíîå ÷èñëî
Ðåëåÿ íå íàìíîãî ïðåâîñõîäèò åäèíèöó). Í åñìîòðÿ íà ýòî, ïîâåäåíèå ýòîé
ñèñòåìû îêàçàëîñü èíòåðåñíûì ñàìî ïî ñåáå è ìíîãî÷èñëåííûå ÷èñëåííûå
èññëåäîâàíèÿ åå ñâîéñòâ ïðîâîäèëèñü â î÷åíü ø èðîêîì äèàïàçîíå ïàðà-
ìåòðà r .  âû÷èñëåíèÿõ îáû÷íî èñïîëüçóþ ò ÷èñëî Ï ðàíäòëÿ s = 10 , à ïà-

Страницы