Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

93
Äàëåå, ïóñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñïðàâåäëèâû è ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ìû ðàñïîëàãàåì ìîùíåéøèì êîìïüþòåðîì, ñïîñîáíûì ðåøàòü òðåõìåðíûå
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñ ëþáîé æåëàåìîé òî÷íîñòüþ (íàïðèìåð, áóäåì ñ÷è-
òàòü òðåõìåðíûé ïîòîê íà ñåòêå 1000õ1000õ1000). Ýòî, îäíàêî, íå ñíèìàåò
ïðîáëåìû îïèñàíèÿ òóðáóëåíòíîñòè, òàê êàê â ðåçóëüòàòå òàêîãî ðåøåíèÿ
ìû áóäåì èìåòü îãðîìíîå êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè, îñîçíàíèå êîòîðîé
òðåáóåò åå ïðåäñòàâëåíèÿ â íåêîòîðîì âèäå, à ýòî ôàêòè÷åñêè îïÿòü æå
ïðåäïîëàãàåò ââåäåíèå îïðåäåëåííîé ìîäåëè ïðîöåññà. Ïî ñóòè, òàêîé ñó-
ïåðêîìïüþòåð îòëè÷àåòñÿ îò ðåàëüíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ, íàáëþäàå-
ìîãî â ëàáîðàòîðèè èëè ïðèðîäå, òîëüêî íåñðàâíåííî áîëüøèìè âîçìîæ-
íîñòÿìè ñúåìà èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî ñîñòîÿíèÿ ïîòîêà â ëþáîé òî÷êå
è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.
Ïðîáëåìà îïèñàíèÿ òóðáóëåíòíîãî äâèæåíèÿ ñîñòîèò â âûäåëåíèè
õàðàêòåðèñòèê, îïèñûâàþùèõ ñâîéñòâà ñèñòåìû ñ îãðîìíûì ÷èñëîì ñòåïå-
íåé ñâîáîäû, à ëþáîé ïîäõîä ê åå îïèñàíèþ - ýòî òîò èëè èíîé ñïîñîá îã-
ðàíè÷åíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû.
Òóðáóëåíòíûå ïîëÿ (ñêîðîñòü, äàâëåíèå, òåìïåðàòóðà è ò.ä.) ïðåä-
ñòàâëÿþò ñîáîé ñëó÷àéíûå ïîëÿ.  ëþáîé òî÷êå ïîòîêà ìîæíî óñòàíîâèòü
äàò÷èê è çàðåãèñòðèðîâàòü ðåàëèçàöèþ ïðîöåññà â äàííîé òî÷êå. Ìíîãî-
êðàòíî ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó, ïðèíöèïèàëüíî âîçìîæíî ïîëó÷èòü ïëîò-
íîñòü âåðîÿòíîñòè )( fP äëÿ èíòåðåñóþùåé íàñ âåëè÷èíû ),( trf
r
. Â îáùåì
ñëó÷àå, ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè òàêæå åñòü ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè.
Ñóùåñòâóåò ðÿä âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, êîòîðûå ìû è ïåðå÷èñëèì.
Òóðáóëåíòíîñòü ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé, åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòè íå çàâèñèò îò ñäâèãà
),(),( rtPrrtP
r
r
r
=
D
+
.
Òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè ïëîòíîñòü âå-
ðîÿòíîñòè íå çàâèñèò îò âðåìåíè, òî åñòü
),(),( rtPrtP
r
r
=
+
t
.
Ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêèì, åñëè îñðåäíåíèå ïî âðåìåíè ýêâè-
âàëåíòíî äëÿ íåãî îñðåäíåíèþ ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé
ò
¥®
=
T
T
dtrtf
T
rf
0
),(
1
)(
lim
rr
.
Óãëîâûìè ñêîáêàìè áóäåì îáîçíà÷àòü ñðåäíåå ïî àíñàìáëþ ðåàëèçà-
öèé. Î÷åâèäíî, ÷òî òîëüêî ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ýðãîäè÷å-
ñêèì. Ãèïîòåçà ýðãîäè÷íîñòè øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ñòà-
                                                                            93



      Äàëåå, ïóñòü óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñïðàâåäëèâû è ïðåäïîëîæèì, ÷òî
ìû ðàñïîëàãàåì ìîù íåéø èì êîìïüþ òåðîì, ñïîñîáíûì ðåø àòü òðåõìåðíûå
óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ ñ ëþ áîé æåëàåìîé òî÷íîñòüþ (íàïðèìåð, áóäåì ñ÷è-
òàòü òðåõìåðíûé ïîòîê íà ñåòêå 1000õ1000õ1000). Ýòî, îäíàêî, íå ñíèìàåò
ïðîáëåìû îïèñàíèÿ òóðáóëåíòíîñòè, òàê êàê â ðåçóëüòàòå òàêîãî ðåø åíèÿ
ìû áóäåì èìåòü îãðîìíîå êîëè÷åñòâî èíôîðìàöèè, îñîçíàíèå êîòîðîé
òðåáóåò åå ïðåäñòàâëåíèÿ â íåêîòîðîì âèäå, à ýòî ôàêòè÷åñêè îïÿòü æå
ïðåäïîëàãàåò ââåäåíèå îïðåäåëåííîé ìîäåëè ïðîöåññà. Ï î ñóòè, òàêîé ñó-
ïåðêîìïüþ òåð îòëè÷àåòñÿ îò ðåàëüíîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ, íàáëþ äàå-
ìîãî â ëàáîðàòîðèè èëè ïðèðîäå, òîëüêî íåñðàâíåííî áîëüø èìè âîçìîæ-
íîñòÿìè ñúåìà èíôîðìàöèè îòíîñèòåëüíî ñîñòîÿíèÿ ïîòîêà â ëþ áîé òî÷êå
è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè.
      Ï ðîáëåìà îïèñàíèÿ òóðáóëåíòíîãî äâèæåíèÿ ñîñòîèò â âûäåëåíèè
õàðàêòåðèñòèê, îïèñûâàþ ù èõ ñâîéñòâà ñèñòåìû ñ îãðîìíûì ÷èñëîì ñòåïå-
íåé ñâîáîäû, à ëþ áîé ïîäõîä ê åå îïèñàíèþ - ýòî òîò èëè èíîé ñïîñîá îã-
ðàíè÷åíèÿ ÷èñëà ñòåïåíåé ñâîáîäû.
      Òóðáóëåíòíûå ïîëÿ (ñêîðîñòü, äàâëåíèå, òåìïåðàòóðà è ò.ä.) ïðåä-
ñòàâëÿþ ò ñîáîé ñëó÷àéíûå ïîëÿ.  ëþ áîé òî÷êå ïîòîêà ìîæíî óñòàíîâèòü
äàò÷èê è çàðåãèñòðèðîâàòü ðåàëèçàöèþ ïðîöåññà â äàííîé òî÷êå. Ì íîãî-
êðàòíî ïîâòîðÿÿ ýòó ïðîöåäóðó, ïðèíöèïèàëüíî âîçìîæíî ïîëó÷èòü ïëîò-
                                                             r
íîñòü âåðîÿòíîñòè P ( f ) äëÿ èíòåðåñóþ ù åé íàñ âåëè÷èíû f (r , t ) .  îáù åì
ñëó÷àå, ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè òàêæå åñòü ôóíêöèÿ êîîðäèíàò è âðåìåíè.
Ñóù åñòâóåòðÿä âàæíûõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ, êîòîðûåìû è ïåðå÷èñëèì.
      Òóðáóëåíòíîñòü ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé, åñëè ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ
âåðîÿòíîñòè íåçàâèñèò îò ñäâèãà
             r    r           r
      P (t , r + Dr ) = P(t , r ) .

     Òóðáóëåíòíîå òå÷åíèå íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíûì, åñëè ïëîòíîñòü âå-
ðîÿòíîñòè íåçàâèñèò îò âðåìåíè, òî åñòü
                 r            r
      P (t + t , r ) = P (t , r ) .

     Ï ðîöåññ íàçûâàåòñÿ ýðãîäè÷åñêèì, åñëè îñðåäíåíèå ïî âðåìåíè ýêâè-
âàëåíòíî äëÿ íåãî îñðåäíåíèþ ïî àíñàìáëþ ðåàëèçàöèé
                        T
          r           1     r
       f (r ) = lim òf (t , r )dt .
                 T® ¥ T 0



     Óãëîâûìè ñêîáêàìè áóäåì îáîçíà÷àòü ñðåäíåå ïî àíñàìáëþ ðåàëèçà-
öèé. Î÷åâèäíî, ÷òî òîëüêî ñòàöèîíàðíûé ïðîöåññ ìîæåò áûòü ýðãîäè÷å-
ñêèì. Ãèïîòåçà ýðãîäè÷íîñòè ø èðîêî èñïîëüçóåòñÿ ïðè èññëåäîâàíèè ñòà-

Страницы