Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 94 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

94
öèîíàðíûõ òå÷åíèé, òàê êàê íà ïðàêòèêå èçìåðÿþòñÿ èìåííî ñðåäíèå ïî
âðåìåíè âåëè÷èíû.
 ðåàëüíûõ èçìåðåíèÿõ øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ è ãèïîòåçà Òåéëîðà, ïî-
çâîëÿþùàÿ ñâÿçàòü ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå ôëóêòóàöèè èññëåäóå-
ìîé âåëè÷èíû ),( trf
r
. Ñîãëàñíî ýòîé ãèïîòåçå, åñëè ñóùåñòâóåò ñðåäíåå òå-
÷åíèå, õàðàêòåðèçóåìîé ñêîðîñòüþ U
r
, òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîøåíèå
i
i
x
f
U
t
f
=
.
Ïîëüçóÿñü ýòîé ãèïîòåçîé, ïî èçìåðåíèÿì â çàäàííîé òî÷êå ïðî-
ñòðàíñòâà îïðåäåëÿþò ïðîñòðàíñòâåííûå ôëóêòóàöèè èññëåäóåìîãî ïîëÿ è
èõ ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè.
3.1.2 Ñòàòèñòè÷åñêèå ìîìåíòû ñëó÷àéíûõ ïîëåé
Ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè ),( trP
r
ñîäåðæèò ïîë-
íóþ èíôîðìàöèþ î ñëó÷àéíîì ïîëå ),( trf
r
, îäíàêî, åå îïðåäåëåíèå â ïîë-
íîì îáúåìå ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. Èçâåñòíî, ÷òî çàäàíèþ ïëîòíîñòè
âåðîÿòíîñòè ýêâèâàëåíòíî çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (â ïðèíöèïå - áåñ-
êîíå÷íîé) ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ
ò
= dffPfMf
mm
)( .
Ïðè ýòîì ìîìåíò íóëåâîãî ïîðÿäêà ðàâåí åäèíèöå â ñèëó óñëîâèÿ íîðìè-
ðîâêè
ò
== 1)(
0
dffPMf ,
à ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûé òàêæå ìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì,
äàåò ñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû
ò
== fdfffPMf )(
1
.
Äëÿ ìîìåíòîâ âòîðîãî è áîëåå âûñîêèõ ïîðÿäêîâ îáû÷íî èñïîëüçóþò
öåíòðàëüíûå ìîìåíòû, âû÷èñëÿåìûå îòíîñèòåëüíî ñðåäíèõ çíà÷åíèé
ò
-=- dffPffffM
mm
)()()( .
Íàïîìíèì, ÷òî öåíòðàëüíûé ìîìåíò âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ
äèñïåðñèåé.
94



öèîíàðíûõ òå÷åíèé, òàê êàê íà ïðàêòèêå èçìåðÿþ òñÿ èìåííî ñðåäíèå ïî
âðåìåíè âåëè÷èíû.
     Â ðåàëüíûõ èçìåðåíèÿõ ø èðîêî èñïîëüçóåòñÿ è ãèïîòåçà Òåéëîðà, ïî-
çâîëÿþ ù àÿ ñâÿçàòü ïðîñòðàíñòâåííûå è âðåìåííûå ôëóêòóàöèè èññëåäóå-
                 r
ìîé âåëè÷èíû f (r , t ) . Ñîãëàñíî ýòîé ãèïîòåçå, åñëè ñóù åñòâóåò ñðåäíåå òå-
                                      r
÷åíèå, õàðàêòåðèçóåìîé ñêîðîñòüþ U , òî ñïðàâåäëèâî ñîîòíîø åíèå

      ¶f      ¶f
         = Ui     .
      ¶t      ¶xi

      Ï îëüçóÿñü ýòîé ãèïîòåçîé, ïî èçìåðåíèÿì â çàäàííîé òî÷êå ïðî-
ñòðàíñòâà îïðåäåëÿþò ïðîñòðàíñòâåííûå ôëóêòóàöèè èññëåäóåìîãî ïîëÿ è
èõ ñòàòèñòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè.


         3.1.2 Ñòàòèñòè÷åñêèåìîìåíòû ñëó÷àéíûõ ïîëåé
                                                                             r
     Ô óíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ ïëîòíîñòè âåðîÿòíîñòè P (r , t ) ñîäåðæèò ïîë-
                                    r
íóþ èíôîðìàöèþ î ñëó÷àéíîì ïîëå f (r , t ) , îäíàêî, ååîïðåäåëåíèå â ïîë-
íîì îáúåìå ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî. È çâåñòíî, ÷òî çàäàíèþ ïëîòíîñòè
âåðîÿòíîñòè ýêâèâàëåíòíî çàäàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (â ïðèíöèïå- áåñ-
êîíå÷íîé) ñòàòèñòè÷åñêèõ ìîìåíòîâ

                                              Mf m = òf m P ( f )df .


Ï ðè ýòîì ìîìåíò íóëåâîãî ïîðÿäêà ðàâåí åäèíèöå â ñèëó óñëîâèÿ íîðìè-
ðîâêè

                                                   Mf 0 = òP ( f )df = 1 ,


à ìîìåíò ïåðâîãî ïîðÿäêà, íàçûâàåìûé òàêæåìàòåìàòè÷åñêèì îæèäàíèåì,
äàåòñðåäíåå çíà÷åíèå âåëè÷èíû
                               Mf 1 = òfP ( f )df = f .


     Äëÿ ìîìåíòîâ âòîðîãî è áîëååâûñîêèõ ïîðÿäêîâ îáû÷íî èñïîëüçóþ ò
öåíòðàëüíûåìîìåíòû, âû÷èñëÿåìûå îòíîñèòåëüíî ñðåäíèõ çíà÷åíèé

      M(f -   f ) m = ò( f -   f ) m P ( f )df .


     Í àïîìíèì, ÷òî öåíòðàëüíûé ìîìåíò âòîðîãî ïîðÿäêà íàçûâàåòñÿ
äèñïåðñèåé.

Страницы