Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 96 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

96
×àùå âñåãî èñïîëüçóþò êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè )(rB
ll
è )(rB
nn
, õà-
ðàêòåðèçóþùèå êîððåëÿöèþ ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ ñîñòàâëÿþùèõ
ïóëüñàöèé ñêîðîñòè. Çäåñü èíäåêñîì l îáîçíà÷åíà ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè
âäîëü ëèíèè, ñîåäèíÿþùåé òî÷êè
1
r
r
è
2
r
r
, à èíäåêñîì
n
ñîñòàâëÿþùàÿ, íîð-
ìàëüíàÿ ýòîé ëèíèè. Õàðàêòåðíûé âèä ýòèõ ôóíêöèé èëëþñòðèðóåò ðèñó-
íîê 3.1.
Âûøå, â ïàðàãðàôå 2.4.3, óêàçûâàëîñü íà ñâÿçü êîððåëÿöèîííîé
ôóíêöèè ñî ñïåêòðàìè (òåîðåìà Õèí÷èíà) â ñëó÷àå âðåìåííîãî ñèãíàëà.
Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå ñâÿçûâàåò è ïðîñòðàíñòâåííûå ñïåêòðû ñ äâóõ-
òî÷å÷íûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè. Ïðåæäå ÷åì íàïèñàòü ýòî ñîîò-
íîøåíèå, îñòàíîâèìñÿ íåñêîëüêî ïîäðîáíåå íà âîïðîñå î ïðîñòðàíñòâåí-
íûõ ñïåêòðàõ òóðáóëåíòíîñòè.
3.1.3 Ïðîñòðàíñòâåííûå ñïåêòðû
Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ñëó÷àéíîå (òóðáóëåíòíîå) ïîëå
çàíèìàåò îãðàíè÷åííûé îáúåì è âåëè÷èíà ),,,( tzyxf ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíà èíòåãðàëîì Ôóðüå
ò
¥
¥-
= kde)t,k(f)t,r(f
rki
rr
)
r
r
r
3
8
1
p
, (3.5)
ãäå
,rde)t,r(f)t,k(f
rki
ò
¥
¥-
-
=
rr
r
)
r
r
(3.6)
),,( zyxr
=
r
- ðàäèóñ-âåêòîð, ),,(
zyx
kkkk =
r
- âîëíîâîé âåêòîð.
Ñ÷èòàÿ ðàññìàòðèâàåìóþ òóðáóëåíòíîñòü ñòàöèîíàðíîé, îïðåäåëèì
òðåõìåðíûé ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñëó÷àéíîãî ïîëÿ :
>=<
2
|)k(f|)k(F
r
)
r
(3.7)
Óãëîâûå ñêîáêè îçíà÷àþò â ýòîì ñëó÷àå îñðåäíåíèå ïî âðåìåíè. Òðåõìåð-
íûé ñïåêòð ñâÿçàí ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé )(rB
r
(òåîðåìà Õèí÷èíà)
ò
-
= rderBkF
rki
rr
r
r
r
)(
8
1
)(
3
p
(3.8)
 òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè, ãîâîðÿ î åå ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâàõ, îáû÷íî
èìåþò â âèäó ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð )(kE , êîòîðûé õàðàêòåðèçóåò ýíåðãèþ
96



      ×àù å âñåãî èñïîëüçóþ ò êîððåëÿöèîííûå ôóíêöèè Bll (r ) è Bnn (r ) , õà-
ðàêòåðèçóþ ù èå êîððåëÿöèþ ïðîäîëüíûõ è ïîïåðå÷íûõ ñîñòàâëÿþ ù èõ
ïóëüñàöèé ñêîðîñòè. Çäåñü èíäåêñîì l îáîçíà÷åíà ñîñòàâëÿþ ù àÿ ñêîðîñòè
                                 r    r
âäîëü ëèíèè, ñîåäèíÿþ ù åé òî÷êè r1 è r2 , à èíäåêñîì n ñîñòàâëÿþ ù àÿ, íîð-
ìàëüíàÿ ýòîé ëèíèè. Õàðàêòåðíûé âèä ýòèõ ôóíêöèé èëëþ ñòðèðóåò ðèñó-
íîê 3.1.
      Âûø å, â ïàðàãðàôå 2.4.3, óêàçûâàëîñü íà ñâÿçü êîððåëÿöèîííîé
ôóíêöèè ñî ñïåêòðàìè (òåîðåìà Õèí÷èíà) â ñëó÷àå âðåìåííîãî ñèãíàëà.
Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîø åíèå ñâÿçûâàåò è ïðîñòðàíñòâåííûå ñïåêòðû ñ äâóõ-
òî÷å÷íûìè êîððåëÿöèîííûìè ôóíêöèÿìè. Ï ðåæäå ÷åì íàïèñàòü ýòî ñîîò-
íîø åíèå, îñòàíîâèìñÿ íåñêîëüêî ïîäðîáíåå íà âîïðîñå î ïðîñòðàíñòâåí-
íûõ ñïåêòðàõ òóðáóëåíòíîñòè.


           3.1.3 Ï ðîñòðàíñòâåííûåñïåêòðû

     Ï ðåäïîëîæèì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìîå ñëó÷àéíîå (òóðáóëåíòíîå) ïîëå
çàíèìàåò îãðàíè÷åííûé îáúåì è âåëè÷èíà f ( x, y, z, t ) ìîæåò áûòü ïðåäñòàâ-
ëåíà èíòåãðàëîì Ô óðüå
                                           ¥
                               r        1     ) r       rr r
                           f ( r ,t ) = 3 òf ( k ,t )e ik r dk ,             (3.5)
                                       8p - ¥
ãäå
                                                   ¥
                                    ) r                 r       - ik r r
                                                                   rr
                                    f ( k ,t ) =   òf
                                                   -¥
                                                      ( r ,t )e       dr ,   (3.6)

r                                r
r = ( x, y, z ) - ðàäèóñ-âåêòîð, k = (k x , k y , k z ) - âîëíîâîé âåêòîð.

     Ñ÷èòàÿ ðàññìàòðèâàåìóþ òóðáóëåíòíîñòü ñòàöèîíàðíîé, îïðåäåëèì
òðåõìåðíûé ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ñëó÷àéíîãî ïîëÿ :
                                       r        ) r
                                   F ( k ) =< | f ( k ) |2 >                 (3.7)

Óãëîâûåñêîáêè îçíà÷àþò â ýòîì ñëó÷àå îñðåäíåíèå ïî âðåìåíè. Òðåõìåð-
                                               r
íûé ñïåêòð ñâÿçàí ñ êîððåëÿöèîííîé ôóíêöèåé B (r ) (òåîðåìà Õèí÷èíà)

                                      r     1     r rr r
                                   F (k ) = 3 òB (r )e - ik r dr             (3.8)
                                           8p

 òåîðèè òóðáóëåíòíîñòè, ãîâîðÿ î åå ñïåêòðàëüíûõ ñâîéñòâàõ, îáû÷íî
èìåþ ò â âèäó ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð E (k ) , êîòîðûé õàðàêòåðèçóåò ýíåðãèþ

Страницы