Турбулентность: модели и подходы. Курс лекций. Часть I. Фрик П.Г. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

98
Òàêèì îáðàçîì,
ò
=
zyx
dkdk)k(f)k(f
r
)
)
2
1
4
1
p
,
à
ò
=
zyx
dkdkkFkF )(
16
1
)(
4
1
r
p
.
 ñëåäóþùèõ ãëàâàõ, ðàññìàòðèâàÿ ñòðóêòóðó ìåëêîìàñøòàáíîé òóð-
áóëåíòíîñòè, ìû ïîñòîÿííî áóäåì îáðàùàòüñÿ ê ñïåêòðàì, îïèñûâàåìûì
ñòåïåííûìè çàêîíàìè. Ïîêàæåì, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ââåäåííûå ñïåê-
òðû òóðáóëåíòíîñòè ïðè ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò ìàñøòàáà (âîë-
íîâîãî ÷èñëà). Ïóñòü èìååòñÿ îäíîðîäíîå èçîòðîïíîå ïîëå ñêàëÿðíîé âå-
ëè÷èíû, ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð êîòîðîé ñëåäóåò ñòåïåííîìó çàêîíó
a
kkE ~)( .
Òîãäà òðåõìåðíûé ñïåêòð
2
2
2
2
2
2
)(~)(
-
-
++=
a
a
zyx
kkkkkF ,
à îäíîìåðíûé
òò
=++
-
zyzyxx
dkdkkkkkF
2
2
222
1
)(~)(
a
òò
=
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+
÷
÷
ø
ö
ç
ç
è
æ
+=
-
-
zy
x
z
x
y
x
dkdk
k
k
k
k
k
2
2
2
2
2
1
a
a
( )
òò
-
++=
a
a
a
xhxh
xx
kddk ~1
2
2
22
(ïðîâåäåíà çàìåíà ïåðåìåííûõ
xzxy
kkkk /;/ == xh ).
Òàêèì îáðàçîì, â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè ýíåðãåòè-
÷åñêèé ñïåêòð )(kE è îäíîìåðíûé ñïåêòð )(
1
kF ñëåäóþò îäíîìó ñòåïåííîìó
çàêîíó, à ñòåïåíü óáûâàíèÿ òðåõìåðíîãî ñïåêòðà ìåíüøå íà äâîéêó (ò.å.
òðåõìåðíûé ñïåêòð çíà÷èòåëüíî êðó÷å).
98




     Òàêèì îáðàçîì,
      )             1       ) r
      f1 ( k x ) =
                   4p 2    ò ( k )dk y dk z ,
                            f

     à
                     1        r
                   16p 4 ò
     F1 (k x ) =          F ( k )dk y dk z .


     Â ñëåäóþ ù èõ ãëàâàõ, ðàññìàòðèâàÿ ñòðóêòóðó ìåëêîìàñø òàáíîé òóð-
áóëåíòíîñòè, ìû ïîñòîÿííî áóäåì îáðàù àòüñÿ ê ñïåêòðàì, îïèñûâàåìûì
ñòåïåííûìè çàêîíàìè. Ï îêàæåì, êàê ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ââåäåííûå ñïåê-
òðû òóðáóëåíòíîñòè ïðè ñòåïåííîé çàâèñèìîñòè ýíåðãèè îò ìàñø òàáà (âîë-
íîâîãî ÷èñëà). Ï óñòü èìååòñÿ îäíîðîäíîå èçîòðîïíîå ïîëå ñêàëÿðíîé âå-
ëè÷èíû, ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð êîòîðîé ñëåäóåò ñòåïåííîìó çàêîíó

     E (k ) ~ k a .
     Òîãäà òðåõìåðíûé ñïåêòð
                                                                   a- 2
                                                      2
     F (k ) ~ k    a- 2
                          = (k x + k y + k z )
                                       2                      2     2
                                                                             ,
     à îäíîìåðíûé
                                                              a- 2

                       òò(k            + ky + kz )                       dk y dk z =
                                   2              2       2    2
         F1 (k x ) ~           x


                                                                  a- 2
               æ           æk y
                                           2
                                       ö æk z ö
                                                          2
                                                              ö    2

     = k x òòç1 +                                             ÷
          a- 2
                           ç
                           çk          ÷
                                       ÷ + ç
                                           ç ÷÷                          dk y dk z =
               ç           è x         ø èk x ø               ÷
               è                                              ø


                òò(1 + h                   )
                                               a- 2
            a                                                            a
     = kx                  2
                               + x2             2     dhdx ~ k x


     (ïðîâåäåíà çàìåíà ïåðåìåííûõ h = k y / k x ; x = k z / k x ).
     Òàêèì îáðàçîì, â îäíîðîäíîé èçîòðîïíîé òóðáóëåíòíîñòè ýíåðãåòè-
÷åñêèé ñïåêòð E (k ) è îäíîìåðíûé ñïåêòð F1 (k ) ñëåäóþ ò îäíîìó ñòåïåííîìó
çàêîíó, à ñòåïåíü óáûâàíèÿ òðåõìåðíîãî ñïåêòðà ìåíüø å íà äâîéêó (ò.å.
òðåõìåðíûé ñïåêòð çíà÷èòåëüíî êðó÷å).

Страницы